A THEORETICAL-DIDACTIC APPROACH TO CLASSICAL METHODS FOR SOLVING ALGEBRAIC EQUATIONS WITH DEGREE HIGHER THAN 2 FOR HIGH SCHOOL STUDENTS
REGISTRO DOI: 10.69849/revistaft/ch10202508290920
Carlos Kleber Alves do Nascimento
RESUMO
Estudar métodos de resolução de equações algébricas é de fundamental importância para que os alunos consigam resolver diversas situações-problema no Ensino Médio. Para equações com grau superior a 2, no entanto, a aplicação de métodos pouco explorados em sala de aula devido à sua dificuldade se torna necessária na maioria dos casos. Assim, este trabalho tem como objetivo auxiliar alunos do Ensino Médio a aprimorar seus conhecimentos na resolução de equações algébricas com grau superior a 2, fazendo uma análise dessas equações, com ênfase nos métodos clássicos de resolução de equações do terceiro e do quarto graus e no Teorema das Raízes Racionais. Dessa forma, além de trabalhar com métodos clássicos de resolução de equações, constitui uma fonte didático-teórica com diversas aplicações que auxiliarão a compreensão de conceitos mais sofisticados da Álgebra Moderna.
Palavras-chave: Equações algébricas, Ensino Médio, Métodos Clássicos, Raízes Racionais.
ABSTRACT
Studying methods for solving algebraic equations is crucial for students to be able to solve various problem situations in high school. For equations with a degree higher than 2, however, applying methods rarely explored in the classroom due to their difficulty becomes necessary in most cases. Thus, this work aims to help high school students improve their knowledge in solving algebraic equations with a degree higher than 2, analyzing these equations, with an emphasis on classical methods of solving third and fourth degree equations and the Theorem of Rational Roots.Thus, in addition to working with classical methods of solving equations, it constitutes a didactic-theoretical source with several applications that will help in understanding more sophisticated concepts of Modern Algebra.
Keywords: Algebraic equations, High school, Classical methods, Rational roots.
1. INTRODUÇÃO
Historicamente as tentativas de resolução de equações algébricas com grau superior a 2 permitiu alguns avanços importantes da Matemática, mas foi Tartaglia quem obteve uma fórmula envolvendo radicais que soluciona equações do terceiro grau. Alguns anos depois, Ferrari conseguiu generalizar o processo para equações do quarto grau.
A busca por soluções explícitas para equações com grau superior a 4 utilizando radicais continuou por cerca de três séculos, contudo, apesar de o Teorema Fundamental da Álgebra garantir que toda equação algébrica com coeficientes complexos tem pelo menos uma raiz complexa, Abel e Galois provaram que a viabilidade de soluções explícitas por radicais vai até equações com grau 4.
Hoje sabemos que existem métodos numéricos de aproximação para encontrar as raízes reais e complexas dessas equações, mas ainda assim, é importante reconhecer o valor teórico, histórico e didático desses métodos clássicos de resolução.
A fim de auxiliar o entendimento desses métodos de resolução foram trabalhados inicialmente alguns conceitos básicos, exemplos e teoremas como os conceitos de polinômio, grau, raiz, multiplicidade e o Teorema Fundamental da Álgebra. Este artigo tem por objetivo destacar a importância teórico-didática no que se refere a resolução de equações algébricas, sistematizando os principais métodos resolutivos e preparando o aluno para teorias mais sofisticadas da Álgebra Moderna.
2. POLINÔMIOS COM COEFICIENTES EM C
Um polinômio p(z) com coeficientes em C uma expressão formal do tipo
onde n ∈ N, aj ∈ C, para 0 ≤ j ≤ n e a variável z pode assumir qualquer valor complexo.
Os elementos aj para 0 ≤ j ≤ n são chamados de coeficientes de p(z), as parcelas ajzj de termos sendo a0 o termo independente de z e os termos ajzj tais que aj ≠ 0, de termos de grau j do polinômio p(z).
Chamamos p(z) = a0, com a0 ∈ C, de polinômio constante. Se p(z) = 0,chamamos p(z) de polinômio identicamente nulo e podemos escrever também p(z) ≡ 0. Este polinômio pode ser escrito na forma
p(z) = 0zn + 0zn—1 + … + 0z + 0, ∀n ∈ N.
Se p(z) for um polinômio não identicamente nulo, ou seja, p(z) ≠ 0, então algum coeficiente deve ser diferente de zero e daí haverá um maior índice n tal que an ≠0. Definimos o grau de p(z) como sendo este número n e o denotamos por gr(p(z)). Neste caso, an é chamado de coeficiente líder de p(z). Chamaremos de polinômios mônicos aqueles de coeficiente lìder an = 1.
Observação: Não definimos grau de polinômio identicamente nulo p(z) ≡ 0.
Exemplo: Seja p(z) = z2– 5z+2. Temos um polinômio de coeficientes complexos 1, -5 e 2.
Exemplo: Seja p(z) = z2– 2iz – i. Temos um polinômio de coeficientes complexos 1, -2i e -i.
Exemplo: Seja o polinômio constante f (z) = 2, temos que gr (f(z)) = 0, uma vez que f não é identicamente nula.
Exemplo: Seja o polinômio f (z) = z3– 2z + 4, temos que f mônico e gr (f(z)) = 3.
Seja o polinômio p(z) de coeficientes complexos tal que n ∈ N, aj ∈ C, para 0 ≤ j ≤ n,
p(z) = anzn + an—1zn—1 + … + a1z + a0
e seja z0 ∈ C. Definimos avaliação de p(z) em z0 como sendo
p(z0) = anz0n + an—1z0n—1 + … + a1z0 + a0 ∈ C.
Se p(z0) = 0, dizemos que z0 é uma raiz de p(z).
Exemplo: Seja o polinômio f (z) = z2 + z + 1 – i. Observe que f (i) = i2 + i + 1 – i = -1 + i + 1 – i = 0. Logo, i é raiz de f.
Exemplo: Seja f (z) = z4 + 2z2 + 1. Se f um polinômio tal que z ∈ R, ∀z, então, f (z) = (z2 + 1)2 > 0 ∀z ∈ R, o que mostra que f não tem raízes reais. Contudo, f é polinô mio definido em C e em particular f (±i) = [(±i)2 + 1]2 = [—1 + 1]2 = 0. Portanto, ±i são raízes complexas do polinômio f.
2.1 DIVISÃO DE POLINÔMIOS
Considere os polinômios de coeficientes complexos f(z) e g(z). Se g(z)≠ 0, dizemos que g(z) divide f(z) ou f(z) divisível por g(z), quando existe o polinômio h(z) em C, tal que f(z) = g(z).h(z) e dizemos, nesse caso, que f(z) um múltiplo de g(z).
Exemplo: Temos que p(z) = z2 — 4z + 8 divide q(z) = z4 + 64
De fato,
q(z) = (z2)2 + 82 = (z2 + 8)2 — 2z28 = (z2 + 8)2 — 16z2
= (z2 + 8)2 — (4z)2 = (z2 + 8 — 4z) · (z2 + 8 + 4z).
Exemplo: O polinômio p(z) = zn — an divisível por z- a, onde a um número complexo qualquer e n ≥ 2; n ∈ N. Basta verificar que
zn — an = (z — a) · (zn—1 + azn—2 + a2zn—3 + … + an—2z + an—1)
A divisibilidade entre dois polinômios exerce um papel significativo no estudo de suas raízes. Se um polinômio p pode ser escrito como o produto p = f.g de dois polinômios f e g, então um complexo z0 é raiz de p se, e somente, se z0 raiz de f ou de g, uma vez que
f (z) · g(z) = 0 ⇒ f (z) = 0 ou g(z) = 0.
Sabemos que segundo o conceito de divisão de números inteiros, dado um inteiro dividendo a e um inteiro divisor b≠0, dividir a por b consiste em encontrar inteiros q e r (onde 0 ≤ r < |b|), chamados respectivamente, de quociente e resto da divisão, que cumpram a = bq + r. É possível demonstrar que q e r existem e são únicos. Da mesma forma, dividir um polinômio com coeficientes complexos f(z) (dividendo) por um outro polinômio g(z) (divisor) não identicamente nulo, consiste em obter polinômios de coeficientes complexos q(z) e r(z), chamados respectivamente, de quociente e resto da divisão, que cumpram:
f (z) = q(z)g(z) + r(z),
onde r(z) ≡ 0 ou gr(r(z)) < gr(g(z)).
Teorema: O quociente e o resto da divisão de um polinômio com coeficientes complexos f(z) por um polinômio g(z) (não identicamente nulo) existem e são únicos.
Corolário: Se f(z) um polinômio com coeficientes complexos e a ∈ C, então o resto da divisão de f(z) por z- a é dado por f(a).
Demonstração: Pelo algoritmo da divisão, temos que
f (z) = q(z) · (z — a) + r(z),
onde q(z) e r(z) têm coeficientes em C, com
r(z) = 0 ou gr(r(z)) < gr(z — a) = 1.
Assim, r(z) é constante, portanto,
f (a) = (a — a) · q(a) + r(a) = r.
Proposição: Seja f(z) é um polinômio com coeficientes complexos. Então a ∈ C é uma raiz de f(z) se, e somente se, z – a divide f(z).
Demonstração: Como consequência do corolário anterior, temos que se a é raiz de f(z), então,
r = f (a) = 0, ou seja, z – a divide f (z).
Reciprocamente, suponhamos que z – a divida f(z). Então, existe q(z) com coeficientes em C tal que f (z)= q(z) · (z — a). Portanto,
f (a) = q(a)(a — a) = q(a).0 =0.
Exemplo: Determine o resto da divisão do polinômio p(z) pelo polinômio q(z) = z, onde p(z) = (z — 1) · (z — 2) . . . (z — n) + a
Utilizando o corolário anterior, o resto r da divisão de p(z) por q(z) é p(0). Logo,
r = (0 — 1) · (0 — 2) . . . (0 — n) + a
= (—1) · (—2) . . . (—n) + a
= (—1)n· n! + a
Definição: Dizemos que a ∈ C é uma raiz de um polinômio f(z) com coeficientes em C, de multiplicidade m, quando (z — a)m dividir f(z) e (z — a)m+1 não dividir f(z). Nesse caso, existe o polinômio q(z) com coeficientes em C tal que
f (z) = (z — a)mq(z), com q(a) /= 0.
Dizemos que a uma raiz simples de f(z) quando m = 1 e uma raiz múltipla quando m ≥ 2.
Exemplo: Dado o polinômio f (z) = (z — 2)3(z — 4)(z2 + z — 1), temos que 2 raiz de multiplicidade 3 e 4 raiz simples de f(z).
2.2 TEOREMA FUNDAMENTAL DA ÁLGEBRA E A FATORAÇÃO DE POLINÔMIOS
Teorema:Todo polinômio p(z) não constante com coeficientes complexos possui pelo menos uma raiz complexa.
Tradicionalmente o TFA é provado em cursos de uma variável complexa nos bacharelados de matemática e física e/ou nos cursos de pós-graduação em matemática e física, sendo que não raras vezes os alunos têm contato com tal teorema pela primeira vez na pós-graduação. Em tais cursos, via de regra o TFA é provado logo após o Teorema de Liouville o qual é deduzido da Fórmula Integral de Cauchy, devida a A. L. Cauchy (1789-1857), que para sua prova requer o estudo da Teoria da Integração em uma Variável Complexa. Muitas vezes o TFA é demonstrado utilizando a Teoria de Galois ou a Topologia Algébrica, que são teorias sofisticadas.
Como consequência do Teorema Fundamental da Álgebra, podemos afirmar que p(z) tem no máximo n raízes e que podemos escrever p(z) como produto de n fatores de grau 1.
Proposição: Seja f(z) um polinômio não nulo com coeficientes em C. Se f(z) tem grau n, então f(z) tem no máximo n raízes em C.
Proposição: Seja p(z) um polinômio com coeficientes em C e gr(f (z)) = n ≥ 1. Então o, existem α1, α2, …, αn ∈ C, não necessariamente distintos, e a ∈ C\ {0} tais que
p(z) = a(z — α1)…(z — αn).
3. MÉTODOS DE RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES ALGÉBRICAS
Nesta seção serão abordados alguns teoremas e métodos que auxiliam a resolução de equações algébricas do tipo p(x) = 0, x ∈ C. O teorema a seguir garante que as raízes não reais de equações algébricas do tipo p(x) = 0, x ∈ C, com coeficientes reais, ocorrem aos pares, o que combinado com o dispositivo de Briot-Ruffini, que permite reduzir o grau de uma equação, facilita bastante a busca das raízes da equação algébrica.
Teorema: Se o número a + bi é uma raiz complexa não real de uma equação algébrica com coeficientes reais, então o seu complexo conjugado a – bi também é raiz da equação, com a mesma multiplicidade.
Exemplo: Resolva a equação x4 — 9x3 + 30x2 — 42x + 20 = 0 sabendo que 3 + i raiz dessa equação.
Se 3 + i raiz da equação de coeficientes reais, então 3 – i também é raiz da mesma equação. Aplicando Briot-Ruffini para baixar o grau da equação, vem:
Tendo eliminado as duas raízes complexas conjugadas, ficamos com x2 — 3x + 2 = 0 que possui as raízes 1 e 2. Logo, as raízes são 3 + i, 3 – i, 1 e 2. É claro que ao invés de eliminar cada raiz complexa de uma vez, poderíamos também ter dividido x4 – 9x3 + 30x2– 42x + 20 = 0, diretamente, pelo polinômio de coeficientes reais x2 — 6x + 10, obtendo o mesmo resultado.
Um fato importante a respeito de equações algébricas é que toda equação algébrica de coeficientes reais de grau ímpar possui pelo menos uma raiz real. De fato, como as raízes complexas não reais ocorrem aos pares e essas equações possuem uma quantidade ímpar de raízes, então, pelo menos uma dessas raízes deve ser real.
Mas o que fazer quando essas propriedades e teoremas não são o ciente para resolver uma equação polinomial?
Será que existem fórmulas para solucionar equações de grau superior a 2 como ocorre com as equações do primeiro e segundo graus ? A busca por respostas a essas perguntas foi responsável por importantes avanços da Matemática, no período aproximado de 1500 a 1800. A primeira contribuição importante foi a de Tartaglia, que obteve uma fórmula de resolução, envolvendo radicais, para equações do terceiro grau. Não muito depois, Ferrari generalizou o processo para equações do quarto grau. E as coisas pararam por aí . Durante três séculos, buscou-se um processo de resolução para equações do quinto grau ou superior através de radicais. A questão foi resolvida por Abel e Galois, que demonstraram a impossibilidade de se ter uma fórmula geral para resolver equações de grau superior a 4.
Como ocorre muitas vezes em Matemática, apesar da resposta a respeito da possibilidade de se resolver tais equações ser negativa, a busca não foi infrutífera: a teoria desenvolvida por Galois em sua demonstração gerou uma inteira área de desenvolvimento na Álgebra. O fato de não existir fórmulas algébricas de resolução para equações de grau superior a 4 não significa que não possamos resolver tais equações, isto é, calcular suas raízes reais e complexas. Os processos de resolução, no entanto, envolvem métodos numéricos de aproximação para a obtenção dessas raízes. Na verdade, mesmo equações de grau 3 e 4 não são, na prática, resolvidas através de suas fórmulas algébricas de resolução, preferindo-se, na maior parte das vezes, recorrer a métodos numéricos.
Apesar da inexistência de fórmulas de resolução para equações de grau maior que 4, determinadas equações particulares podem ser resolvidas algebricamente. A seguir, veremos como resolver por meio de radicais equações do terceiro e quarto graus.
3.1 MÉTODO DE CARDANO PARA EQUAÇÕES DO 3º GRAU
A resolução de qualquer equação do terceiro grau pode ser obtida pelo chamado Método de Cardano, mas que na verdade deve-se também aos métodos de del Ferro e Niccolò Tartaglia. Esses métodos foram publicados por Cardano no livro Ars Magna em 1945. Poucos anos depois, Ferrari conseguiu desenvolver um método que resolve as equações quárticas por radicais. Para equações de grau superior a 4, Abel e Galois provaram que não existe fórmula geral em radicais o que não significa dizer que não há soluções.
O método consiste em eliminar o termo x² da equação geral ax³ + bx² + c x + d = 0, com a ≠ 0. Para isso fazemos x = y − b/(3a), obtendo-se a cúbica reduzida: y³ + p y + q = 0, em que
p = (3ac − b²)/(3a²) e q = (2b³ − 9abc + 27 a² d)/(27 a³).
A ideia de Cardano foi procurar uma solução da forma y = u + v.
Substituindo em y³ + p y + q = 0:
(u + v)³ + p(u + v) + q = 0
u³ + 3u²v + 3uv² + v³ + p(u + v) + q = 0
(u³ + v³) + 3uv(u + v) + p(u + v) + q = 0
⇒ (u³ + v³) + (3uv + p) y + q = 0, com y = u + v.
Para anular o termo com y, impomos 3uv + p = 0 ⇒ uv = −p/3. Com isso, precisamos que u³ + v³ = − q.
Seja U = u³ e V = v³. Então U + V = −q e UV = (uv)³ = (−p/3)³ = −p³/27. Logo, U e V são as raízes da quadrática t² + q t − p³/27 = 0.
Resolvendo-a: t = [ −q ± √(q² + 4(p³/27)) ] / 2 = −q/2 ± √( (q/2)² + (p/3)³ ). Definimos o discriminante da cúbica reduzida: Δ = (q/2)² + (p/3)³. Assim, podemos tomar U = −q/2 + √Δ e V = −q/2 − √Δ, e então u = ∛U, v = ∛V. Portanto, uma solução real é: y = ∛( −q/2 + √Δ ) + ∛( −q/2 − √Δ ).
As outras duas soluções (que podem ser reais ou complexas) são dadas por multiplicar um dos cubos pela raiz cúbica primitiva da unidade ω = (−1 + i√3)/2, isto é:
y₂ = ω ∛U + ω² ∛V, y₃ = ω² ∛U + ω ∛V.
Por fim, volta-se a x pela translação: x = y − b/(3a).
Caso Δ < 0 na cúbica reduzida, todas as três raízes são reais, mas a expressão em radicais passa por números complexos (casus irreducibilis). Nesses casos, uma alternativa didática é usar a forma trigonométrica (método de Viète).
Exemplo 1: Resolver a equação x³ + 6x − 20 = 0
Veja que esta equação já está reduzida (não há x²). Portanto, p = 6 e q = −20. Discriminante: Δ = (q/2)² + (p/3)³ = (−20/2)² + (6/3)³ = (−10)² + 2³ = 100 + 8 = 108. Como Δ > 0, há uma raiz real e duas complexas. Computemos: U = −q/2 + √Δ = 10 + √108 = 10 + 6√3; V = −q/2 − √Δ = 10 − 6√3. Então: y₁ = ∛U + ∛V = ∛(10 + 6√3) + ∛(10 − 6√3).
As outras soluções usam ω = (−1 + i√3)/2:
y₂ = ω ∛U + ω² ∛V, y₃ = ω² ∛U + ω ∛V.
Aqui b = 0 (não houve translação), logo x = y. Portanto, as soluções são: x₁ = ∛(10 + 6√3) + ∛(10 − 6√3),
x₂ = ω ∛(10 + 6√3) + ω² ∛(10 − 6√3),
x₃ = ω² ∛(10 + 6√3) + ω ∛(10 − 6√3).
Exemplo 2: Resolver a equação x³ − 6x² + 11x − 6 = 0.
Testando, x = 1 é raiz. Fazendo Briot–Ruffini ou fatoração direta, temos que: (x³ − 6x² + 11x − 6) = (x − 1)(x² − 5x + 6) = (x − 1)(x − 2)(x − 3).
Logo, x = 1, 2, 3. Este é um caso em que não é necessário aplicar Cardano.
3.2 MÉTODO DE FERRARI PARA EQUAÇÕES DO 4º GRAU Inicialmente eliminamos o termo em x³ da equação geral
Ax⁴ + Bx³ + Cx² + Dx + E = 0, com A ≠ 0, fazendo x = y − B/(4A). Obtemos a quártica reduzida: y⁴ + py² + q y + r = 0, com p, q, r determinados por A, B, C, D, E.
A ideia de Ferrari foi transformar em diferença de quadrados, Somando e subtraindo (2t) y² + t² para obter:
(y² + t)² = (2t − p) y² − q y + (t² − r). [*]
Queremos que o lado direito seja um quadrado perfeito em y, isto é, (ay + b)². Igualando coeficientes:
a² = 2t − p; 2ab = −q; b² = t² − r.
Usando b = −q/(2a) na terceira igualdade e a² = 2t − p, obtemos a condição para t (a resolvente cúbica de Ferrari):
q² = 4(2t − p)(t² − r) ⇒ 8t³ − 4 pt² − 8rt + (4pr − q²) = 0.
Escolhe-se uma raiz real t₀ dessa cúbica (pode-se usar Cardano). Então a = √(2t₀ − p) e b = −q/(2a).
A identidade [*] vira (y² + t₀)² − (a y + b)² = 0, isto é,
(y² − a y + (t₀ − b)) (y² + a y + (t₀ + b)) = 0.
Assim, a quártica se reduz a duas equações quadráticas, resolvidas pela fórmula de Bhaskara.
Exemplo 1: Resolver a equação x⁴ + 4x + 3 = 0
Veja que esta quártica já está reduzida (não há x³, logo y = x). Temos p = 0, q = 4, r = 3. A resolvente cúbica de Ferrari é dada por
8t³ − 4pt² − 8rt + (4 pr − q²) = 0 ⇒ 8t³ − 0 − 24t + (0 − 16) = 0.
Simplificando: 8 t³ − 24 t − 16 = 0 ⇒ t³ − 3 t − 2 = 0.
Verificamos que t = 2 é raiz: 8 − 6 − 2 = 0. Logo, t₀ = 2.
Então a² = 2 t₀ − p = 4, portanto a = 2 (tomamos a ≥ 0).
b = − q/(2 a) = − 4 / (2·2) = −1.
Fatorização: (x² − a x + (t₀ − b)) (x² + a x + (t₀ + b)) = 0.
Isto é: (x² − 2x + (2 − (−1))) (x² + 2x + (2 + (−1))) = 0.
Logo: (x² − 2x + 3)(x² + 2x + 1) = 0.
Resolvendo as quadráticas:
x² − 2x + 3 = 0 ⇒ x = 1 ± √(1 − 3) = 1 ± i√2.
x² + 2x + 1 = 0 ⇒ (x + 1)² = 0 ⇒ x = −1 (raiz dupla).
Conjunto de soluções: { −1 (dupla), 1 + i√2, 1 − i√2 }.
Exemplo 2: Resolver a equação x⁴ − 10x² + 9 = 0
Substitua z = x²: z² − 10z + 9 = 0. Pelas fórmulas de Bhaskara:
z = [10 ± √(100 − 36)]/2 = [10 ± 8]/2 ⇒ z = 1 ou z = 9.
Voltando a x: x² = 1 ⇒ x = ±1; x² = 9 ⇒ x = ±3. Soluções: { −3, −1, 1, 3 }.
3.3 TEOREMA DAS RAÍZES RACIONAIS
Teorema: Se o número racional p/q, com p e q primos entre si, for raiz da equação com coeficientes inteiros anxn + an—1xn—1 + … + a1x + a0 = 0 com a0 ≠ 0, então p|a0 e q|an.
Este teorema permite fazer uma previsão sobre as possíveis raízes racionais de uma equação algébrica com coeficientes inteiros. Algumas observações importantes:
1. Este teorema não garante a existência de raízes racionais, mas no caso de elas existirem, mostra como obtê-las.
2. O teorema possibilita a formação de um conjunto de possíveis raízes racionais obtidas dos divisores de an e a0. Se nenhum elemento deste conjunto for a raiz da equação, esta não admite raízes racionais.
3. Se an = ±1 e os demais coeficientes são inteiros, a equação não admite raízes fracionárias, podendo, entretanto, admitir raízes inteiras que são divisores de a0.
4. Para formar o conjunto das possíveis raízes racionais da forma p/q é suficiente fazermos p∈ Z e q∈ Z.
5. Em toda equação algébrica cuja soma dos coeficientes for igual a zero, o número 1 será a raiz da equação.
Exemplo 1: Verifique se a equação x4– x2– 2 = 0 tem raízes racionais.
Como a equação tem todos os coeficientes inteiros, temos que p é um divisor de -2, logo p = ±1 ou p = ±2. Temos que q é um divisor de 1, logo q = ±1. Os possíveis valores das raízes racionais são dados pela razão p/q , daí p/q ∈ {-1, 1, -2, 2} . Fazendo a verificação de quais desses valores tornam a equação verdadeira, notamos que nenhum dos quatro valores é raiz da equação. Portanto, a equação não tem raízes racionais.
Exemplo 2: Resolva a equação 2x3– 7x2 + 8x – 3 = 0.
Como a soma dos coeficientes da equação nula: 2 – 7 + 8 – 3 = 0, uma das raízes é 1. Logo, a equação pode ser colocada na forma (x – 1).q(x) = 0. Aplicando o dispositivo de Briot-Ruffini, q(x) = 2x2– 5x + 3. Fazendo q(x) = 0, temos que 2x2– 5x + 3 = 0. Logo, as raízes são 1 e 3/2.
Exemplo 3: Encontre as raízes inteiras da equação x3– 4x2 + 25x -100 = 0 e depois a resolva em C.
Aplicando o teorema das raízes racionais, como a3 = 1, as possíveis raízes da equação são:
{±1, ±2, ±4, ±5, ±10, ±20, ±25, ±50, ±100}
Verificamos que 4 é raiz da equação e podemos aplicar o dispositivo de Briot-Ruffini encontrando a equação x2 + 25 = 0 e obtendo as outras raízes:
x2 + 25 = 0 ⇒ x2 = —25 ⇒ x = ±5i. Logo, a solução S = {4, ±5i} .
4. DISCUSSÃO
Os métodos clássicos de resolução de equações algébricas desempenham um papel importante na formação teórica do estudante, ajudando-o a assimilar conceitos e permitindo a compreensão da evolução histórica do tema em estudo. É importante destacar que a combinação desses métodos com os teoremas e proposições mais comuns nos livros didáticos do Ensino Médio permite que os estudantes consigam resolver uma variedade importante de situações-problemas no Ensino Médio.
Didaticamente, os métodos de Cardano e Ferrari têm a vantagem de fornecer aos alunos soluções analíticas por radicais, mas também permite que os eles percebam as limitações dessas abordagens para grau superior a 4, instigando-os a avançar para métodos numéricos e computacionais.
Dessa forma, é fundamental o estudo do Cálculo Numérico, pois ela traz a base teórica e prática que irão facilitar essa transição nos estudos, permitindo o cálculo de raízes de equações transcendentes e não lineares e lidando com a convergência e erros de novos métodos. Como forma de aprofundar os estudos, o estudante pode explorar alguns algoritmos numéricos e recursos computacionais como os softwares MATLAB, Python e até algumas planilhas do Excel são capazes de implementar e executar esses algoritmos numéricos.
Vejamos alguns exemplos de gráficos gerados utilizando-se Pytho e Excel:
(Gerada por Python)
(PLANILHA EXCEL)
(PLANILHA EXCEL)
5. CONCLUSÃO
Este trabalho visou a contribuir no processo de ensino-aprendizagem dos alunos no que se refere à conceitos básicos da Álgebra como polinômios, raízes e multiplicidade e principalmente na resolução de equações algébricas utilizando-se alguns teoremas, proposições e métodos claśsicos de resolução com destaque para os métodos de Cardano que permite resolver por radicais uma equação do 3º grau e o método de Ferrari que recorre ao método de Cardano para solucionar as raízes de uma equação do 4º grau.
Teve destaque também neste trabalho o Teorema das Raízes Racionais que permite permite fazer uma previsão sobre as possíveis raízes racionais de uma equação algébrica com coeficientes inteiros, de tal forma que possibilita a formação de um conjunto de possíveis raízes racionais obtidas dos divisores de an e a0 da equação com coeficientes inteiros anxn + an—1xn—1 + … + a1x + a0 = 0.
Tal teorema garante que se nenhum elemento deste conjunto for a raiz da equação, esta não admite raízes racionais, o que facilita bastante na investigação das raízes e na decisão de se recorrer a outros métodos sejam analíticos com solução fechada ou utilizando-se métodos numéricos e computacionais obtendo-se soluções aproximadas dessas raízes.
Os resultados deste trabalho visam a contribuir não apenas como fonte de informação e material de estudo para alunos do ensino médio, mas serve também como base para aprofundamento nos estudos e como um material didático e teórico para a preparação de aulas de professores, visto que a maioria dos livros didáticos demonstram-se por vezes superficiais na obtenção de raízes de equações polinomiais.
REFERÊNCIAS
HEFEZ, Abramo. VILLELA, Maria Lúcia Torres Polinômios e Equações Algébricas. Rio de Janeiro: SBM, 2012. (Coleção PROFMAT).
NASCIMENTO, C.K.A., Polinômios, equações algébricas e o estudo de suas raízes reais. Dissertação de Mestrado Profissional em Matemática (PROFMAT) – Universidade Federal do Ceará, Fortaleza, 2015.
DELBONI, Roberta Regina. Teorema Fundamental da Álgebra. Disponível em: < http://www.ime.unicamp.br/~ftorres/ENSINO/…/TFA_RBTA.pdf >. Acessado em 25/10/2015. p.4.
LIMA, Elon Lages et al. A Matemática do Ensino Médio volume 3. 6.ed.Rio de Janeiro: SBM 2006.
GIOVANNI, José Ruy. BONJORNO, José Roberto. Matemática Completa 2.São Paulo: FTD,2005.V. 3.