REGISTRO DOI: 10.5281/zenodo.10569576
Renato Duarte Gomes[1]
Eduardo Gomes Onofre[2]
Resumo
Este artigo tem o objetivo de analisar os métodos de Fatoração de expressões algébricas, como organizador prévio para a resolução de equação do 2º grau. Esta pesquisa tem como aporte teórico, os estudos AUSUBEL (1980), MOREIRA (2011; 2012) e GOMES (2021) e outros autores. Trata-se de uma pesquisa de natureza qualitativa, realizada com três Professores Formadores de Matemática do estado de Pernambuco. Esta pesquisa segue estruturada em três etapas: (1) exploratória, (2) pesquisa de campo e (3) análise e discussão dos dados coletados. Para análise e discussão dos dados levantados no percurso metodológico, os mesmos foram explorados partindo da aplicação de um Pré-Teste estruturado por 2 questões com foco no ensino de equação do 2º grau condicionadas a resolução sem o uso da fórmula de Bhaskara. A partir dos dados coletados, foram criados dois eixos de discussão: (1) Métodos de resolução e (2) Subsunçores explorados nas resoluções. Os resultados encontrados apontaram a retomada do ensino de Fatoração de expressões algébricas como um organizador prévio e necessário para reativar e promover o desenvolvimento de uma aprendizagem significativa e eficaz no processo de ensino e aprendizagem de equação do 2º grau, contribuindo na e para sala de aula de Matemática, além de potencializar a autonomia e a capacidade dos estudantes resolverem situações cotidianas sem o uso de fórmulas.
Palavras-chave: Equação do 2º grau. Aprendizagem Significativa. Aprendizagem Mecânica.
Resumen Este artículo tiene como objetivo analizar los métodos de factorización de expresiones algebraicas, como organizador previo a la resolución de una ecuación de segundo grado. Esta investigación tiene como sustento teórico, los estudios AUSUBEL (1980), MOREIRA (2011; 2012) y GOMES (2021) y otros autores. Se trata de una investigación cualitativa realizada con tres Profesores de Matemáticas del estado de Pernambuco. Esta investigación se estructura en tres etapas: (1) exploratoria, (2) investigación de campo y (3) análisis y discusión de los datos recolectados. Para el análisis y discusión de los datos recogidos en el curso metodológico, se exploraron a partir de la aplicación de un Pre-Test estructurado por 2 preguntas enfocadas a la enseñanza de ecuaciones de 2º grado condicionadas a resolución sin el uso de la fórmula de Bhaskara. A partir de los datos recopilados, se crearon dos ejes de discusión: (1) Métodos de resolución y (2) Subsumidores explorados en las resoluciones. Los resultados encontrados apuntaron a la reanudación de la enseñanza de la Factorización de expresiones algebraicas como organizador previo y necesario para reactivar y promover el desarrollo de un aprendizaje significativo y eficaz en el proceso de enseñanza y aprendizaje de la ecuación de 2º grado, contribuyendo en y para la aula de Matemáticas, además de potenciar la autonomía de los alumnos y su capacidad para resolver situaciones cotidianas sin el uso de fórmulas.
Palabras clave: Ecuación de 2º grado. Aprendizaje significativo. Aprendizaje Mecánico.
INTRODUÇÃO
Resolver equações do 2º grau é uma prática muito comum no 9º ano do Ensino Fundamental e no Ensino Médio. Muitos métodos e procedimentos são ensinados e empregados para encontrar sua(s) solução(ões) e/ou seu conjunto solução. Nessa trajetória escolar, muitos estudantes apresentam dificuldades quando se deparam com esse conteúdo matemático, seja por sua complexidade ou pelo uso da fórmula de Bhaskara utilizada e enfatizada para resolver problemas que envolvam equação do 2º grau.
Vale destacar que, resolver equação desse grau, não está condicionado ao uso de fórmulas para descobrir ou identificar sua solução. Inicialmente, o ensino de equação do 2º grau é explorado com vistas ao tipo e classificação da equação – completa ou incompleta. Nessa direção, percebemos na prática docente que os métodos de Fatoração de expressões algébricas são introdutórios ao ensino de equação do 2º grau e por sua vez, apresenta um conjunto de informações necessárias para a construção de novas aprendizagens.
Ao retomar ou resgatar a essência dos métodos de Fatoração de expressões algébricas, pode-se reativar conceitos, definições, conhecimentos prévios e ideias importantes para a estrutura cognitiva dos estudantes, possibilitando assim, o desenvolvimento e/ou a construção de uma Aprendizagem Significativa. Para Moreira (2012), nessa retomada, os conhecimentos prévios dos estudantes são significativamente explorados e acrescidos de novas informações, servindo de âncora para dar significado ao novo e futuro conteúdo.
Este artigo busca analisar os métodos de Fatoração de expressões algébricas, como organizador prévio para a resolução de equação do 2º grau. Para isto, propomos a análise e exploração das respostas obtidas a partir da aplicação de um Pré-Teste, aplicado a três Professores Formadores de Matemática.
Após uma breve apresentação sobre os argumentos aqui apresentados, este artigo pretende contribuir com uma discussão sobre dois tópicos, (1) o ensino de equação do 2º grau segundo a Base Nacional Comum Curricular e a (2) compreensão da Teoria da Aprendizagem Significativa.
Neste trabalho, buscou-se apoiar as discussões com vistas nos principais estudos de AUSUBEL (1980), MOREIRA (2011; 2012) – Teoria da Aprendizagem Significativa –, GOMES (2021) – EQUAÇÃO DO 2º GRAU – e BNCC (2018), PE (2012; 2019) – Diretrizes Educacionais –, entre outros. Considerando as bases teóricas e o objetivo deste trabalho, propomos responder ao longo desta pesquisa, a seguinte questão: Quais as principais contribuições em retomar o ensino de Fatoração de expressões algébricas para resolver equações do 2º grau?
Com foco específico na resolução de problemas que envolvem equação do 2º grau, buscamos investigar nas resoluções coletadas, os subsunçores matemáticos presentes no ensino de Fatoração de expressões algébricas, advindos do estudo de Polinômios, segundo as orientações curriculares propostas para o 9º Ano do Ensino Fundamental – Anos Finais à luz do Currículo de Pernambuco (2019).
Nessa perspectiva, este trabalho foi o produto da disciplina de Teorias da Aprendizagem no Ensino de Matemática e Ciências do Mestrado Profissional da Universidade Estadual da Paraíba – UEPB, integrando em sua base teórica, um estudo matemático à luz de uma teoria de aprendizagem discutida e aprofundada nas aulas.
Deste modo, o presente trabalho segue organizado em 5 sessões, além desta Introdução, apresentamos o Referencial Teórico, os Aspectos Metodológicos, a Análise e Discussão dos dados coletados e as Considerações Finais, oferecendo importantes reflexões de um conteúdo matemático explorado à luz da Teoria da Aprendizagem Significativa.
O ENSINO DE EQUAÇÃO DO 2º GRAU NO ENSINO FUNDAMENTAL – ANOS FINAIS
A sala de aula de Matemática do 9º Ano do Ensino Fundamental – Anos Finais é um campo de investigação para o professor regente e para muitos pesquisadores. Uma etapa de escolaridade onde os conteúdos propostos durante às aulas vão seguindo o planejamento do professor e a complexidade dos assuntos curriculares previstos no organizador curricular da escola e da rede de ensino.
Ao pensar nos conteúdos curriculares de Matemática e em especial aplicados no 9º Ano do Ensino Fundamental – Anos Finais, podemos descrever fortemente o conteúdo de Equação do 2º grau como um dos conteúdos mais significativos desta etapa de escolaridade da Educação Básica. Bhaskara é conhecido ou apreciado por grande parte dos estudantes pelo seu respectivo nome ou pela fórmula, que é evidentemente discutido no ensino de equação do 2º grau.
Muitos estudos descrevem a natureza do ensino e da aprendizagem de equação do 2º grau preocupando-se pelo uso de fórmulas e métodos empregados no ensino deste conteúdo. Ao refletir sobre o ensino e a aprendizagem de equação do 2º grau, nos deparamos com inúmeras dificuldades apresentadas pelos estudantes em sala de aula, como apontam Ourives Filho, Santos e Neilla (2010):
Em tese, ensinar equação não é fácil; não basta pegar o livro e copiar o conteúdo no quadro. É necessário haver interação do professor com o aluno, o docente precisa saber tornar o assunto interessante. Trabalhar somente com as fórmulas não proporciona um aprendizado amplo; pelo contrário, só condiciona o aluno a resolver as equações por esse método, e isso não conduz ao aprendizado – e sim à memorização. O que leva o professor a criar esses obstáculos epistemológicos? Talvez despreparo ou falta de entusiasmo (OURIVES FILHO; SANTOS; NEILLA, 2010, p. 2).
Segundo o exposto, ensinar equação do 2º grau não corresponde a exposição de uma forma generalizada e uma fórmula que seja suficiente para sua respectiva resolução. Pensar em equação do 2º não é sinônimo do termo Bhaskara. Embora seja a fórmula mais consagrada e utilizada por muitos professores no ensino de equação do 2º grau.
Comumente percebemos a necessidade de refletir e interagir com os estudantes na construção e formalização dos conhecimentos matemáticos, através de estratégias, esquemas e registros que condicionem aos estudantes seus saberes e a partir deles a busca para determinar ou encontrar uma solução diante de um problema proposto. Como se daria durante uma atividade de Matemática que exija resolver um problema que envolva equação do 2º grau e o estudante esqueça a fórmula de Bhaskara? De certo que essa situação é muito real e tão próxima de nossas salas de aula.
Segundo essa problemática, Pernambuco (2012) afirma que:
Tem-se observado que uma abordagem das equações do segundo grau apenas pela aplicação direta da fórmula de Bhaskara termina por provocar dificuldades posteriores. Os alunos acabam tomando-a como método único e, quando “esquecem a fórmula”, não são capazes de resolver o problema. Assim, é recomendável que, nessa etapa, os estudantes sejam incentivados a resolver equações de segundo grau utilizando a fatoração e o processo de completar quadrados, os quais, além de serem métodos eficazes, podem dar significado à fórmula de Bhaskara, que somente deverá ser apresentada aos estudantes no Ensino Médio (PERNAMBUCO, 2012, p. 103).
Partindo dessas reflexões, estudos e investigações matemáticas contribuíram para a organização e estrutura curricular do ensino de Matemática em todo o país. A partir das Diretrizes Curriculares Nacionais para o Ensino Fundamental, Currículos Brasileiros foram construídos e debatidos com vistas à luz da Base Nacional Comum Curricular – BNCC. Promulgada em 2018, a BNCC passou a nortear habilidades específicas para os conteúdos matemáticos de cada ano do Ensino Fundamental.
No tocante ao ensino de equação do 2º grau, a mesma não menciona o uso de fórmulas, no entanto, a mesma propõe para o 9º Ano do Ensino Fundamental – Anos Finais (9º Ano EF), na Unidade Temática Álgebra, a Habilidade 09 que busca “compreender os processos de fatoração de expressões algébricas, com base em suas relações com os produtos notáveis, para resolver e elaborar problemas que possam ser representados por equações polinomiais do 2º grau” (BNCC, 2018, p. 378).
Ao refletir essa habilidade e a organização dos livros didáticos de Matemática do 9º Ano EF, em todos eles, encontramos a utilização da Fórmula Resolutiva de Bhaskara para resolver equações do 2º grau, principalmente para resolver as equações completas do tipo ax2 + bx + c = 0. Nesta mesma análise, percebemos que é possível resolver equações do 2º grau, seja completa ou incompleta, sem utilizar fórmulas.
A fórmula resolutiva de Bhaskara tem sua importância e significado no ensino e para a aprendizagem não apenas em equação do 2º grau, como em outros assuntos e campos de estudo. O que refletimos neste trabalho é o resgate e/ou a retomada dos métodos de Fatoração de expressões algébricas, trabalhados no 8º Ano do Ensino Fundamental – Anos Finais (8º Ano EF), como organizador prévio para a resolução de equações do 2º grau.
UMA RETOMA AOS MÉTODOS DE FATORAÇÃO PARA RESOLVER EQUAÇÕES DO 2º GRAU
A Álgebra está muito presente no ensino da Matemática do Ensino Fundamental, seja nos Anos Iniciais como nos Anos Finais. Álgebra é um eixo temático que permeia a nossa vida cotidiana por meio de muitas situações. É importante enfatizar que os conteúdos matemáticos ensinados no Ensino Fundamental – Anos Finais, são estruturados pedagogicamente em um grau de complexidade ano após ano de escolaridade.
A aplicação e a resolução de problemas no ensino de equação do 2º grau estão bem presentes em muitas atividades da nossa vida, pois é um conteúdo muito explorado no Ensino Fundamental – Anos Finais para construção de conceitos, desenvolvimento cognitivo e algébrico dos alunos necessários para estimular o raciocínio, a capacidade de análise e argumentação matemática (GOMES, 2021, p. 6).
Na perspectiva do processo de ensino e aprendizagem de equação do 2º grau no 9º Ano EF, visualizamos a Álgebra muito presente na linguagem e na representação de situações problemas que envolvem esse conteúdo. A clareza e a organização dos conhecimentos que os estudantes já construíram no 8º Ano EF, influenciam diretamente na aquisição significativa do ensino e da aprendizagem de equação do 2º grau.
O conhecimento desse conteúdo não se limita ao reconhecimento do seu respectivo grau e representação algébrica, nem tão pouco por sua classificação ou até mesmo, relacioná-la a fórmula resolutiva de Bhaskara. Muitas vezes os estudantes pensam dessa forma e acabam mecanizando esse ensino através da generalização 
e quando isso acontece, obstáculos epistemológicos podem surgir dessa situação.
A generalização de Bhaskara é um dos métodos e/ou procedimentos utilizados para resolver equação do 2º grau. Sem rejeitar essa ideia, surge a pergunta: É possível resolver uma equação do 2º grau completa, sem a utilização da fórmula resolutiva de Bhaskara? A resposta à essa pergunta é possível a partir dos conhecimentos construídos no 8º Ano EF, quando ensinamos Fatoração de expressões algébricas.
Quando ensinamos Polinômios, introduzimos aos estudantes métodos de Fatoração de expressões algébricas que são introdutores para resolver equações do 2º grau, sejam elas completas ou incompletas. Nos livros didáticos e na prática docente, percebe-se que ao introduzir o ensino de equação do 2º grau, o professor direciona seu percurso metodológico apoiado em:
- Reconhecer uma equação do 2º grau.
- Identificar os elementos de uma equação do 2º grau.
- Classificar equações do 2º grau em completas ou incompletas.
- Escrever equações do 2º grau na forma reduzida.
- Representar situações por meio de uma equação do 2º grau.
- Determinar as soluções de uma equação do 2º grau de natureza, incompleta e em seguida, as de natureza completas.
- Determinar a quantidade de raízes reais distintas de uma equação do 2º grau analisando o valor de sua variação (discriminante).
- Compreender a relação entre as raízes e os coeficientes de uma equação do 2º grau.
Na sexta tarefa, descrita acima, trazemos para reflexão como os métodos de Fatoração de expressões algébricas são eficientes e significativos para uma aprendizagem significativa, valorizando os conhecimentos prévios e/ou até mesmo construídos no 8º Ano EF. Nessa direção, observamos como esses métodos são suficientes para provar que equações do 2º grau completas, são resolvidas com vistas para Fatoração por agrupamento e pelo método de completar quadrados.
É importante reiterar que o regate e/ou a retomada dos métodos de fatoração de expressões algébricas é relevante às novas aprendizagens a partir das interações entre os conhecimentos prévios que os estudantes já possuem, uma vez que estes evoluíram em conhecimento para chegar ao 9º Ano EF. Em termos mais técnicos, apresentaremos algumas discussões nos processos de resolução de uma equação do 2º grau por meio da Fatoração de expressões algébricas, podendo promover uma aprendizagem significativa, sem a utilização de fórmulas.
Para essa pesquisa, apoiamos nossas discussões com vistas a três métodos de Fatoração de expressões algébricas, (1) Fator comum em evidência, (2) Completando quadrados e (3) Fatoração por agrupamento, para resolver equações do 2º grau. Considerando os três casos acima apresentados e como já foi destacado, a abordagem desse trabalho está voltado em resolver equações do 2º grau a partir dos métodos de fatoração de expressões algébricas.
Nota-se o quanto o ensino de polinômios é introdutório ao ensino de equação como também, através dele, introduzimos procedimentos para resolver equações do 2º grau. Portanto, essa retomada poderá verificar se aprendizagem do estudante, foi construída de forma significativa ou mecânica.
Nesse sentido, Gomes (2021), afirma que:
o sucesso da aprendizagem dos estudantes precisa estar condicionado ao saber algébrico e não com o uso e mecanização da fórmula matemática. Por isso faz-se necessário atentar a possibilidade de evitar o fracasso não apenas na disciplina Matemática, mas no percurso formativo desses alunos (GOMES, 2021, p. 4).
Muitos estudos tem apontado métodos para resolver equações, com ou sem o uso de fórmulas. No ensino de equação do 2º grau, segundo Gomes (2021) “não basta apenas formalizar “o caminho” e os meios para determinar quantas e quais as raízes de uma equação do 2º grau”, faz-se necessário valorizar os caminhos e procedimentos que os estudantes utilizam para resolver os problemas e tarefas para a aquisição de uma aprendizagem significativa.
APRENDIZAGEM SIGNIFICATIVA: O QUE DE FATO SIGNIFICA?
Em termos de discussões sobre ensino e aprendizagem é comum perceber a utilização do termo “aprendizagem significativa”. E o que pode nos chamar a atenção é o fato de conectar esse termo a apropriação de uma nova aprendizagem ou a concepção de uma teoria. Portanto, numa visão geral, apresentamos a Aprendizagem Significativa segundo a teoria de David Ausubel (1918-2008), considerando-a como atual e não como uma nova teoria.
Idealizada e construída por volta da década de 60, a Teoria da Aprendizagem Significativa – TAS, teve como autor, o professor, médico e psiquiatra que dedicou-se a estudar a psicologia educacional, David Paul Ausubel. Para aproximar a definição de Aprendizagem Significativa segundo autor, propomos a descrição do que inicialmente, Ausubel (1980), compreende por Aprendizagem e posteriormente, como essa Aprendizagem é considerada Significativa.
Ausubel (1980), preocupado em compreender como a aprendizagem ocorre em sala de aula, o mesmo a considera que a Aprendizagem ocorre como um processo de modificação do conhecimento, reconhecendo assim, a importância dos processos cognitivos dos estudantes. Nessa perspectiva, o conceito de Aprendizagem está intrinsicamente relacionada à organização e interação entre as novas informações e a estrutura cognitiva de cada estudante.
Ausebel, Novak e Hanesian (1980), consideram a Aprendizagem Significativa como um processo, onde as ideias “são relacionadas às informações previamente adquiridas pelo estudante através de uma relação não arbitrária e substantiva (não literal)” (AUSUBEL, NOVA; HANESIAN, 1980, p. 34).
Moreira (2012), afirma que:
Aprendizagem Significativa é aquela em que ideias expressas simbolicamente interagem de maneira substantiva e não-arbitrária com aquilo que o aprendiz já sabe. Substantiva quer dizer não-literal, não ao pé-da-letra, e não-arbitrária significa que a interação não é com qualquer ideia prévia, mas sim com algum conhecimento especificamente relevante já existente na estrutura cognitiva do sujeito que aprende (MOREIRA, 2012, p. 2).
Segundo os autores, as relações não-arbitrária e substantivas, são conceitos que caracterizam à Aprendizagem Significativa, que por sua vez, tais relações não ocorrem de qualquer modo ou com qualquer informação e/ou conhecimento. Nesse sentido, buscando compreender como os estudantes relacionam de forma não-arbitrária e substantiva o novo conhecimento com vistas aos conhecimentos já adquiridos, relevantes à nova aprendizagem, Ausubel (1980), define como subsunçores os conhecimentos presentes na estrutura ou composição cognitiva do estudante.
Para Ausubel, os subsunçores podem ser os conceitos ou proposições presentes no conhecimento do estudante, onde o auxiliará como âncora para dar significado ao novo conhecimento que lhe é apresentado ou descoberto. Sendo assim, Moreira (2012) afirma que:
Em termos simples, subsunçor é o nome que se dá a um conhecimento específico, existente na estrutura de conhecimentos do indivíduo, que permite dar significado a um novo conhecimento que lhe é apresentado ou por ele descoberto. Tanto por recepção como por descobrimento, a atribuição de significados a novos conhecimentos depende da existência de conhecimentos prévios especificamente relevantes e da interação com eles (MOREIRA, 2012, p. 2).
Segundo os estudos de Ausubel e Moreira, uma Aprendizagem Significativa envolve a aquisição de novos significados e caracteriza-se pela interação entre os conhecimentos prévios e novos, numa relação em que os novos conhecimentos passam a adquirir significado para o estudante e os conhecimentos já adquiridos passam a adquirir novos significados e, quando o estudante é capaz de realizar essa transferência de forma clara o novo conhecimento, evidenciamos então, a Aprendizagem Significativa.
Como compreender a construção de um subsunçor? Como torná-lo mais rico? De que forma um subsunçor vai adquirindo novos significados? Podemos responder a partir dos estudos de Moreira (2012), quando apresenta por exemplo, a construção do subsunçor mapa:
As crianças na escola formam o conceito de mapa geográfico através de sucessivos encontros com instâncias desse conceito. Aprendem que o mapa pode ser da cidade, do país, do mundo. Progressivamente, vão aprendendo que um mapa pode ser político, rodoviário, físico, etc.. O subsunçor mapa vai ficando cada vez mais rico, com mais significados, mais estável e mais capaz de interagir com novos conhecimentos. Dependendo dos campos de conhecimentos que o sujeito busque dominar em suas aprendizagens futuras, terá que dar significado a conceitos tais como mapas cognitivos, mapas mentais, mapas conceituais, mapas de eventos e, sabe-se lá, que outros tipos de mapas. Então, ao longo de sucessivas aprendizagens significativas o subsunçor vai adquirindo muitos significados, tornando-se cada vez mais capaz de servir de idéia-âncora para novos conhecimentos. (MOREIRA, 2012, p. 3).
Progressivamente, podemos atentar a dois termos distintos e relevantes para uma Aprendizagem Significativa, os subsunçores e o conhecimento prévio. O subsunçor é um conhecimento estabelecido na estrutura cognitiva do estudante, podendo ser um conceito, uma concepção, uma ideia, uma proposição, uma representação que por meio de uma interação, passe a dar significado a novos conhecimentos.
Os conhecimentos prévios, segundo Moreira (2012):
… na visão de Ausubel, a variável isolada mais importante para a aprendizagem significativa de novos conhecimentos. Isto é, se fosse possível isolar uma única variável como sendo a que mais influencia novas aprendizagens, esta variável seria o conhecimento prévio, os subsunçores já existentes na estrutura cognitiva do sujeito que aprende (MOREIRA, 2012, p. 7).
Segundo o exposto acima, podemos considerar que os conhecimentos prévios podem ser a variável que mais influencia a Aprendizagem Significativa de e para novos conhecimentos. Percebemos então, que a Aprendizagem Significativa não é a aquela aprendizagem eficaz e correta, comumente discutida e esperada. A Aprendizagem Significativa surge a partir de quando o estudante ou sujeito aprendente, passa a atribuir significados a um certo conhecimento, ancorando-o com os seus conhecimentos prévios.
APRENDIZAGEM SIGNIFICATIVA: REATIVANDO UMA REFLEXÃO DO COTIDIANO ESCOLAR
Buscando compreender a ocorrência legítima da Aprendizagem Significativa, essencialmente, podemos dizer que duas condições são imprescindíveis para sua ocorrência; (1) o material de aprendizagem e (2) a predisposição do estudante para aprender. A primeira condição, o material de aprendizagem, precisa e deve ser potencialmente significativo, seja por meio de livros, aulas, aplicativos e outros meios. Vale destacar que no processo de ensino e aprendizagem, o material “só pode ser potencialmente significativo, não significativo: não existe livro significativo, nem aula significativa, nem problema significativo, pois o significado está nas pessoas, não nos materiais” (MOREIRA, 2012, p. 6).
A segunda condição, a predisposição do estudante para aprender, implica dizer que o estudante traga em sua estrutura cognitiva ideias âncoras que sejam relevantes com as quais os materiais de aprendizagem possam ser relacionados. Chaves (2005), explica que, para Ausubel, “a motivação do aluno é a própria aprendizagem. Ela ocorre por si só. Para ele, quando se aprende algo, há uma satisfação inicial que estimula que o ato pedagógico continue se desenvolvendo” (CHAVES, 2005, p. 83).
Esta segunda condição, possivelmente pode ser considerada a mais difícil de ser satisfeita, em relação a primeira condição. É nesta condição que o estudante, precisa relacionar os novos conhecimentos, de forma não arbitrária e substantiva aos conhecimentos prévios.
Nessa perspectiva, Moreira (2012), afirma que:
Não se trata exatamente de motivação, ou de gostar da matéria. Por alguma razão, o sujeito que aprende deve se predispor a relacionar (diferenciando e integrando) interativamente os novos conhecimentos a sua estrutura cognitiva prévia, modificando-a, enriquecendo-a, elaborando-a e dando significados a esses conhecimentos. Pode ser simplesmente porque ela ou ele sabe que sem compreensão não terá bons resultados nas avaliações (MOREIRA, 2012, p. 8).
Ausubel (1980), também sugere o uso de organizadores prévios para que a Aprendizagem Significativa ocorra. Estes organizadores prévios “são materiais introdutórios que antecedem o material a ser estudado, ou seja, eles devem servir de ponte entre o que o estudante já sabe e o que ele deve saber, de modo que o material a ser aprendido ocorra de forma significativa” (GONÇALVES; ALLEVATO, 2020, p. 42).
Os organizadores prévios tem a finalidade de reativar, retomar e promover os conceitos presentes e necessários na estrutura cognitiva do estudante, como ponto de partida para que o professor desenvolva atividades que promovam o pleno desenvolvimento de uma aprendizagem significativa. Desse modo, os organizadores prévios podem subsidiar o processo de ensino do professor em reativar conceitos e definições, favorecendo o planejamento, execução e dinâmica da aula com foco na consolidação da aprendizagem significativa do estudante.
Até o presente momento, apresentamos a concepção de Aprendizagem e Aprendizagem Significativa, propostas por David Ausubel segundo a TAS. No presente cenário da Educação Básica, a aprendizagem que mais ocorre ou é percebida, é a aprendizagem mecânica, cuja natureza é puramente memorizadora, automática e desvinculada de significados, utilizada para a realização de provas, testes e rapidamente esquecida pelos estudantes em sua vida escolar.
Ausubel (1980), define a aprendizagem mecânica ou automática, comparando-a a uma aprendizagem específica de novas informações, onde a interação com os conceitos relevantes e existentes na estrutura cognitiva é pouca ou quase nenhuma. Moreira (2011) acrescenta que na Aprendizagem Mecânica, “a nova informação é armazenada de maneira arbitrária. Não há interação entre a nova informação a aquela já armazenada. O conhecimento assim adquirido é arbitrariamente distribuído na estrutura cognitiva, sem ligar-se a conceitos subsunçores específicos” (MOREIRA, 2011, p. 162).
Um exemplo muito próximo de nossas aulas, em especial, nas aulas de Matemática, é a simples memorização de fórmulas, leis e algoritmos pré-estabelecidos, sem sentido e significado para os estudantes. Esse tipo de aprendizagem exige do estudante apenas o registro da mecanização realizada nos exercícios e tarefas praticados como atividades.
Moreira (2012), apresenta uma comparação entre esses dois tipos de aprendizagem, a Significativa e a Mecânica. Na Aprendizagem Mecânica, a aprendizagem acontece por meio de “um armazenamento literal, sem significado; não requer compreensão; resulta em aplicação mecânica a situações conhecidas” (MOREIRA, 20121, p. 12). A Aprendizagem Significativa, está pautada na incorporação substantiva e não arbitrária com significado, implicando diretamente na compreensão, transferência, capacidade de explicar, descrever e enfrentar situações novas.
No cotidiano da sala de aula, percebemos o quanto faz-se necessário conduzir os estudantes a reativar os conhecimentos prévios ou até mesmo reconstruí-los para dar significado a novos conhecimentos, evidenciando assim a Aprendizagem Significativa. Os estudantes precisam buscar ou visualizar o significado do conteúdo ministrado, compreendendo-o e engajando os novos conhecimentos com os conhecimentos já adquiridos.
No processo de ensino e aprendizagem, a intencionalidade do estudante é um ponto de partida fundamental para que ocorra a Aprendizagem Significativa, de modo que o estudante apresente ou expresse interesse para relacionar de forma não arbitrária e substantiva “o novo”, seja conteúdo, informação ou conhecimento à sua estrutura cognitiva visando diminuir ou transformar a aprendizagem mecânica com vistas à compreensão de uma nova e significativa aprendizagem.
Moreira (2012), esclarece a relação da existência do contínuo das Aprendizagens Significativa e Mecânica, refletindo que:
a passagem da aprendizagem mecânica para a aprendizagem significativa não é natural, ou automática; é uma ilusão pensar que o aluno pode inicialmente aprender de forma mecânica pois ao final do processo a aprendizagem acabará sendo significativa; isto pode ocorrer, mas depende da existência de subsunçores adequados, da predisposição do aluno para aprender, de materiais potencialmente significativos e da mediação do professor; na prática, tais condições muitas vezes não são satisfeitas e o que predomina é a aprendizagem mecânica (MOREIRA, 2012, p. 12).
Analisando a relação entre as Aprendizagens Significativa e Mecânica, percebemos muitas vezes na sala de aula, o estudante como sujeito passivo do processo de ensino e aprendizagem e o professor, o responsável em depositar ou oferecer todas as ideias, conteúdos e informações de uma só vez, como sendo o sujeito ativo no processo. Faz-se necessário repensar, enxergar e conceber o estudante como sujeito ativo para que a aprendizagem aconteça, promovendo o pensamento reflexivo e a capacidade de relacionar os seus conhecimentos prévios com os novos.
A TAS apresenta outros tipos de aprendizagem, além das Aprendizagens Significativa e Mecânica, temos a Aprendizagem Receptiva e a Aprendizagem por descoberta. No tocante as discussões desse trabalho, enfatizaremos apenas as duas primeiras aprendizagens, acima mencionadas.
ASPECTOS METODOLÓGICOS
Essa pesquisa foi desenvolvida no término do primeiro de 2022 com três professores de Matemática, que atuam como Formadores de Matemática na rede estadual de Pernambuco. O público alvo desta pesquisa, são responsáveis por investir pedagogicamente com estudos e materiais de apoio para professores da Educação Básica do estado. Essa pesquisa é caracterizada por uma abordagem qualitativa sob uma perspectiva de estudo que “trabalha com o universo dos significados, dos motivos, das aspirações, das crenças, dos valores e das atitudes” (MINAYO; DESLANDES, 2009, p. 21).
A partir da abordagem metodológica escolhida, a pesquisa foi estruturada em três etapas: (1) exploratória – organização da pesquisa e dos procedimentos imprescindíveis para prática da investigação –; (2) pesquisa de campo – desenvolvimento da investigação a partir da aplicação de um Pré-Teste, respondido por três Professores Formadores de Matemática –; e (3) análise e discussão dos dados coletados – estruturados em dois eixos de discussão.
Vale considerar que na terceira etapa da pesquisa, a análise dos dados coletados intencionou “valorizar, compreender, interpretar os dados empíricos, articulá-los com a teoria que fundamentou o projeto” (MINAYO; DESLANDES, 2009, p. 27), potencializando o presente artigo.
As respostas coletadas, consideradas para a análise, foram extraídas de um Pré-Teste composto por 2 questões que objetivou analisar e explorar os métodos de resolução de equações do 2º grau sem o uso da fórmula de Bhaskara, onde estruturamos em dois eixos de discussão: (1) Métodos de resolução e (2) Subsunçores explorados nas resoluções.
A aplicação do Pré-Teste foi apresentado a cinco Professores Formadores de Matemática, localizados em Gerências Regionais de Educação diferentes, mas, apenas três participaram voluntariamente da pesquisa de campo. O Pré-Teste foi enviado via e-mail e contato via WhatsApp em formato PDF, propondo aos participantes um intervalo de dez dias para respondê-lo.
Os eixos estruturantes dos dados coletados da pesquisa, foram pensados com vistas a teoria que fundamentou a pesquisa, a Teoria da Aprendizagem Significativa. Nessa direção, buscou-se resgatar um conteúdo matemático como organizador prévio (métodos de fatoração) para ancorar uma nova aprendizagem (métodos de resolução de equação do 2º grau sem a utilização de fórmulas) à luz da Aprendizagem Significativa.
No detalhamento das respostas em cada um dos eixos de discussão, identificamos os participantes como sendo A, B e C, com a finalidade de manter o anonimato dos mesmos. Partindo das respostas coletadas, organizamos as discussões em dois eixos, conforme acima descrito, segundo a estrutura do Pré-Teste apresentado e respondido pelos participantes.
ANÁLISE E DISCUSSÃO DOS RESULTADOS
Nesta seção, organizada em dois eixos, são apresentadas e discutidas as análises das respostas dos Professores Formadores de Matemática, coletadas a partir do Pré-Teste. Todos os dados coletados formam mantidos fielmente conforme exposto nos quadros e tabela, apresentados a seguir.
Todas as respostas foram lidas e analisadas de forma individual e em seguida, agrupadas segundo a organização dos eixos em discussão. Os participantes tiveram autonomia na forma para responder as questões, dos quais os participantes B e C optaram em responder o Pré-Teste digitando seus registros e, o participante A, optou em responder a punho suas respostas.
(1) Métodos de resolução
A primeira questão proposta no Pré-Teste, objetivou sondar dos participantes, os principais métodos de resolução, utilizados no ensino de equação do 2º grau. A Questão 01, Em sua prática de sala de aula, quais os principais métodos de resolução que você utiliza ao ensinar Equação do 2º grau?, proposta aos participantes, nos permitiu analisar as respostas indicadas no quadro a seguir.
Quadro 01: Respostas dos Participantes – Questão 01
Fonte: Autores (2022)
De acordo com os dados expostos no Quadro 01, observamos que quatro métodos diferentes são utilizados pelos participantes. Notamos também, que 100% deles utilizam pelo menos um dos métodos de Fatoração de expressões algébricas quando descritos em completando quadrados, fatoração, completar quadrados, termo comum em evidência e propriedade do produto nulo.
Os termos empregados nas respostas coletadas, são métodos utilizados no estudo de Fatoração de expressões algébricas, previsto para estudantes do 8º Ano EF, segundo a BNNC (2018) e o Currículo de Pernambuco (2019).
Quadro 02: Objeto de Conhecimento e Habilidade – 9º Ano EF
Fonte: Currículo de PE, 2019, p. 132
De acordo com o Organizador Curricular de Pernambuco, podemos retomar no ensino os métodos de Fatoração de expressões algébricas, como um organizador prévio para ensinar o estudante a resolver equações do 2º grau, como especifica a Habilidade (EF09MA09PE), onde podemos considerar (1) Completar quadrados e suas relações com Produtos Notáveis, (2) Fator comum em evidência e (3) Fatoração por agrupamento.
A priori, nossa investigação condicionou aos participantes a não utilizarem fórmulas, afim de resgatar os métodos de Fatoração de expressões algébricas como organizador prévio para resolver equações do 2º grau, pensando nos estudantes que chegam ao 9º Ano EF e por muitas vezes faz-se necessário recordar, retomar e até mesmo aprofundar certos conteúdos.
Gonçalves e Allevato (2020), apontam que uma das intenções dos organizadores prévios é a de reativar conceitos, definições e ideias, uma vez que “mesmo que a aprendizagem tenha ocorrido de forma significativa, com o passar do tempo o alunos pode esquecer alguns conceitos e definições” (GONÇALVEZ; ALLEVATO. 2020, p. 42).
(2) Subsunçores explorados nas resoluções
A segunda questão, objetivou reconhecer os subsunçores presentes na resolução de dois problemas que envolvem equação do 2º grau. Neste eixo, buscamos explorar a partir da resolução dos dois problemas (P1 e P2), os subsunçores – os conhecimentos prévios observados, a representação matemática – apresentados pelos participantes.
Inicialmente, foi indicado aos participantes: Gostaria que você resolvesse dois problemas que envolvem equação do 2º grau, sem a utilização da fórmula de Bhaskara. Em seguida, foram apresentados os Problemas 1 e 2, indicados por: P. 1 Qual o conjunto solução da equação 3x2-12x = 0? e P. 2 Resolvendo a equação 2x2-5x-3 = 0, qual(is) a(s) solução(ões) encontramos?.
Os dois problemas apresentados acima podem favorecer a compreensão dos estudantes em utilizar seus conhecimentos prévios, verificando se de fato a aprendizagem do mesmo ocorreu de forma significativa. Segundo Borssoi (2013), “a resolução de problemas é um método válido e prático de avaliar, em certas situações, se ocorreu na aprendizagem significativa” (BORSSOI, 2013, p. 40).
O primeiro problema P1 da Questão 02, propõe ao participante identificar o conjunto solução de uma equação. Para esse fim, foi proposta uma equação do 2º grau incompleta do tipo ax2 + bx = 0, com várias possibilidades de ser explorada. Nessa análise, observamos três resoluções diferentes, utilizando o mesmo método – Fator comum em evidência – investigando também os subsunçores presentes a partir das resoluções apresentadas a seguir:
Quadro 03: Resolução do Problema 1 – Questão 02
Fonte: Autores (2022)
Observamos que os participantes atentaram a condição especial da pesquisa, não utilizar a fórmula de Bhaskara para resolver as equações. Em seguida, visualizamos que através de um mesmo método, podemos resolver um mesmo problema de formas diferentes, valorizando os procedimentos utilizados pelos estudantes, nesse caso, pelos Professores Formadores.
O método Fator comum em evidência, empregado nas resoluções acima, foi teoricamente aplicado segundo a propriedade do produto nulo, que para todo produto A x B = 0, ou A = 0 ou B = 0, ou seja, basta que um dos fatores (binômio) seja zero para que o produto polinomial seja igual a 0. Com isso, já analisamos a compreensão do método e sua aplicabilidade e por conseguinte, observamos os subsunçores:
– a simplificação da equação por 3, por x e por 3x;
– a aplicação da propriedade distributiva para simplificar a equação;
– a reorganização estrutural da equação inicial em duas equações do 1º grau;
– a ordem crescente das soluções de uma equação do 2º grau em seu respectivo conjunto; e
– a representação do ponto e vírgula para separar as soluções da equação.
Notamos que os participantes responderam esse problema, correlacionando um dos métodos indicados na resposta da Questão 01 – Fator comum em evidência, e que para esta análise trazemos dois destaques, não pelo erro, mas pela transcrição. O participante B, ao simplificar a equação por x, não atentou ao sinal negativo, fazendo a transcrição equivocadamente para + 12. Consideramos nessa análise o método utilizado e os conhecimentos prévios explorados na resolução e não a exatidão da solução.
O participante C, apresenta as duas soluções encontradas indicando-as como x = 0 e x = 4, sem registro da representação do conjunto solução e sem a especificidade de x1 e x2. Já o participante A, apresenta o conjunto solução, com a representação S = {0,4}. Cabe nesse processo, refletir sobre a que ano de escolaridade é aplicado tais problemas e em que momento é fundamentado a representação de uma ou mais soluções através de um conjunto.
Se aprofundássemos essa pesquisa, poderíamos pensar que na representação S = {0,4}, teríamos apenas uma única solução, o x = 0,4, tendo em vista o que muitos estudantes enxergariam o valor de x como um número decimal. Ainda nessa discussão, podemos refletir outra inquietação, a representação de x = 0 e x = 4 para uma mesma equação, sendo x = 0 e ao mesmo x = 4. Nessa análise, podemos fomentar o porquê do uso ou da representatividade de x1 e x2oux’ e x’’ como sendo raízes reais e distintas.
O problema 2 da Questão 2, manteve o mesmo objetivo, reconhecer os subsunçores presentes na resolução de dois problemas que envolvem equação do 2º grau. Para esta análise, buscamos explorar a partir das resoluções obtidas, os subsunçores – os conhecimentos prévios observados, a representação matemática – apresentados pelos participantes.
Na análise dos dados coletados, verificamos que o participante C não apresentou solução alguma para o problema 2, P. 2 Resolvendo a equação
3 = 0, qual(is) a(s) solução(ões) encontramos?, observando apenas duas soluções, as dos participantes A e B..
Aparentemente ano analisar as respostas, não observamos nenhum método introdutório de fatoração empregado para resolver o problema. Tomamos como julgamento a possiblidade de os participantes A e B, responderem por “tentativa e erro”, um procedimento que faz-se necessário para evitar a utilização de fórmulas diante de muitas situações, ou por se tratar que sejam professores de Matemática, possam ter adiantado o método de Fatoração por agrupamento.
O segundo problema P2 da Questão 02, propõe aos participantes identificar as soluções de uma equação do tipo ax2 + bx + c = 0, sem utilizar fórmula alguma. Nessa análise, refletimos a Aprendizagem Significativa versus a aprendizagem mecânica, compreendendo que uma equação do 2º grau do tipo completa pode ser resolvida sem a fórmula de Bhaskara.
Para essa discussão, apresentamos apenas duas resoluções, com vistas para o mesmo método e/ou procedimento, haja vista que o participante C, não respondeu o problema proposto, como vemos no Quadro 04:
Quadro 04: Resolução do Problema 2 – Questão 02
Fonte: Autores (2022)
A partir da exposição das resoluções do quadro acima, não visualizamos explicitamente o método ou até mesmo, o procedimento empregado para determinar as soluções da equação. Contudo, valorizamos o pensar e o procedimento decorrente de um método proposto no ensino de Fatoração de expressões algébricas, a Fatoração por agrupamento.
Trata-se de um método mais complexo, cuja abordagem é mais detalhada, não apenas por sua representação matemática, mas de outros métodos e procedimentos que são necessários para responder o problema acima. Portanto, fez-se necessário apresentar a resolução do problema 2, atentando a Habilidade (EF09MA09PE) indicada Currículo de Pernambuco.
Quadro 05: Resolução do Problema 2 – Questão 02
Fonte: Autores (2022)
Como observamos acima, o segundo problema pode ser resolvido sem a utilização de fórmulas, atendendo as diretrizes curriculares propostas na BNCC (2018) e no Currículo de PE (2019). Embora, as duas primeiras resoluções se aproximam desta resolução, os participantes A e B, já iniciam sua resolução a partir da multiplicação polinomial do produto nulo, como já destacamos os subsunçores presentes no problema 1 da Questão 02.
Na resolução apresentada no Quadro 05, percebemos como os subsunçores vão se enriquecendo na medida em que passam a criar uma interação com as novas informações, construindo ou favorecendo a uma nova aprendizagem. Podemos destacar que, retomar os métodos de Fatoração, podem aproximar os conhecimentos prévios dos estudantes a novos conhecimentos para assim, construir uma aprendizagem significativa para resolver equações do 2º grau.
Por fim, nesta análise consideramos os conceitos e as proposições presentes na estrutura cognitiva dos estudantes, que ao chegar no 9º Ano EF precisam desses conhecimentos para ancorar significados na construção de novos conhecimentos, tendo em vista que os conhecimentos prévios que os mesmos já possuem são capazes de interagir e modificar com novas ideias, fazendo sentido para novas aprendizagens.
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Este artigo, a partir dos estudos teóricos e discussões apresentadas e por se tratar de uma pesquisa de interesse dos autores, propôs analisar os métodos de Fatoração de expressões algébricas, como organizador prévio para a resolução de equações do 2º grau. Este trabalho surge dos muitos olhares presentes no âmbito escolar e em especial a sala de aula de Matemática da Educação Básica.
Com vistas a um olhar mais pedagógico e significativo para quem ensina e para quem aprende, idealizamos essa pesquisa como uma possibilidade real e possível de chegar aos professores de Matemática e consequentemente, aos estudantes.
A partir desta motivação, é interessante constatar que, os dados coletados e resultados encontrados, a partir da aplicação do Pré-Teste, pôde valorizar um conteúdo matemático (Fatoração de expressões algébricas) como organizador prévio para auxiliar, reativar e até mesmo ressignificar o ensino de equação do 2º grau no 9º Ano EF à luz da TAS.
Diante das discussões presentes neste trabalho, refletimos também o quanto a TAS tem contribuído no processo de ensino e aprendizagem, e que essa Teoria não se esgota no aporte teórico apresentado nesta pesquisa, sendo assim, optamos em estreitar nossas discussões com as abordagens presentes no referencial teórico deste artigo.
Buscando atentar as mais atuais diretrizes curriculares educacionais vigentes e não limitando-se nelas mesmas, refletimos nossa proposta como uma prática construtiva e significativa para o ensino de Fatoração e Equação do 2º grau, bem como uma oportunidade de aperfeiçoamento da prática docente apoiando os conhecimentos prévios e organizadores prévios como mecanismos pedagógicos que auxiliam o conhecimento que o estudante já sabe com os novos conhecimentos que irão adquirir e/ou construir.
Dessa forma, concluímos que os resultados encontrados, atestam que o ensino de Fatoração de expressões algébricas como organizador prévio para resolver equações do 2º grau podem contribuir na e para sala de aula de Matemática, além de valorizar os procedimentos, a autonomia e a capacidade dos estudantes resolverem situações cotidianas sem o uso de fórmulas.
REFERÊNCIAS
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[1] Mestrando Profissional em Ensino de Ciências e Educação Matemática, Universidade Estadual da Paraíba (UEPB); almo_renato@hotmail.com
[2] Professor Doutor da Universidade Estadual da Paraíba, vinculado ao Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Matemática (UEPB) – Campus Campina Grande – PB; eduonofre@gmail.com