REGISTRO DOI: 10.5281/zenodo.7242471

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David Zavaleta Villanueva

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RESUMO

Neste trabalho apresentamos o método de perturbação ou método assintótico do pequeno parâmetro para
resolver equações diferenciais ordinárias. Os métodos do pequeno parâmetro se apresentam como uma ferramenta poderosa da matemática moderna aplicada que é usada na física, na mecânica e outras ciências. Eles permitem obter aproximações analíticas das soluções de equações diferenciais muito complexas, sejam lineares e/ou não lineares, tanto ordinárias como em derivadas parciais.
Baseado nestas transformações vamos obter aproximações analı́ticas das soluções das equações perturbadas de
Duffing e Mathieu.

1. Introdução do Método

O método do pequeno parâmetro de Lindstedt foi introduzido para evitar a aparição de termos ressonantes (por exemplo, tsent ou tcost) nas soluções perturbadas das equações da forma

u⁰⁰ + ω_o²u = εf(u,u⁰), ε << 1.

Na base do método de Lindstedt descansa a seguinte observação: a não linearidade muda a frequência do sistema desde o valor de ω_o, que corresponde ao sistema linear, até ω(ε). Para evitar a mudança de frequência, Lindstedt introduz uma nova variável τ = ωt e desenvolveu ω e u em potências de ε:

u = u_o(τ) + εu₁(τ) + ε²u₂(τ) + …,

ω = ω_o + εω₁ + ε²ω₂ + …,

e escolhendo os ω_i, i ≥ 1 adequados para evitar os termos resonantes. Poincaré em 1892 demonstrou que esta série trigonométrica obtida é assimptótica.

2. Preliminares

Os enunciados de muitos problemas matem´aticos onde se encontram func¸˜oes da forma u(t,ε), pode ser dado pela equa¸c˜ao diferencial L(u,t,ε) = 0 com condi¸c˜oes de fronteira B(u,ε) = 0, onde ε ´e um parˆametro pequeno, ε << 1. As solu¸c˜oes destes problemas podem ser procurados na forma

∞

u(x,ε) = ^X εⁿu_n(x) = u_o(x) + εu₁(x) + ε²u₂(x) + …

n=0

E de grande utilidade escrever aqui os s´ımbolos ”O Grande” e ”o pequeno”, introduzidos por Landau´ ¹

Simbolo O: lˆe-se O grande. Escrevemos

f(ε) = O[g(ε)], quando ε → 0

se existe um nu´mero positivo M que n˜ao depende de ε tal que

|f(ε)| ≤ M|g(ε)| ou lim .

Simbolo o: lˆe-se o pequeno. Escrevemos

f(ε) = o[g(ε)], quando ε → 0

se existe um nu´mero positivo δ que n˜ao depende de ε tal que

|f(ε)| ≤ δ|g(ε)| ou lim .

Exemplo 2.1. 1. senε = O(ε);

2. cosε = O(1);
3. senε² = O(ε²);
4. senε = o(1);
5. senε² = o(ε);
6. e^−ε−1 = o(εⁿ), ∀n ^∈ N.

Exemplo 2.2 (Equa¸c˜ao Alg´ebrica). Consideremos

u = 1 + εu³, ε << 1. (2.1)

Quando ε = 0, temos u = 1. Agora, seja ε suficientemente pequeno e diferente de zero. Procuremos a solu¸c˜ao de (2.1) na forma

u(x,ε) = 1 + εu₁ + ε²u₂ + ε³u₃ + …

Ent˜ao (2.1) fica na seguinte forma:

εu₁ + ε²u₂ + ε³u₃ + … = ε(1 + εu₁ + ε²u₂ + ε³u₃ + …)³.

Ap´os agrupar os coeficientes das suas respectivas potˆencias e resolver as equa¸c˜oes obtidas, obtemos

u = 1 + ε + 3ε² + 12ε³ + O(ε⁴)

3. Equa¸c˜ao de Duffing

Consideremos a oscilac¸˜ao de uma massa, fixada em uma mola n˜ao linear, descrito pela equa¸c˜ao de Duffing

u⁰⁰ + u + εu³ = 0, u(0) = a, u⁰(0) = 0, ε << 1. (3.2)

Integrando (3.2), obtemos

,

donde segue que o valor de u ´e limitado para todo t ≥ 0.

Vamos buscar a soluc¸˜ao aproximada de (3.2) na forma de uma s´erie assint´otica de Poincar´e:

. (3.3)

Pondo (3.3) em (3.2) e igualando os coeficientes das mesmas potˆencias ε^k, obtemos os seguintes problemas para

calcular uo e u1:
,	(3.4)
. Resolvendo (3.4), obtemos	(3.5)
uo = acost.	(3.6)

Pondo o valor de u_o de (3.6) em (3.5) e usando a identidade trigonom´etrica cos3t = 4cos³ t − 3cost, obtemos

. (3.7)

Resolvendo (3.7) com a condic¸˜ao inicial (3.5), obtemos a soluc¸˜ao

. (3.8)

Desta forma

. (3.9)

Por causa do termo tsent temos u₁/u_o → ∞ quando t → ∞, por isto a s´erie com dois termos (3.9) n˜ao se aproxima da soluc¸˜ao quando t → ∞. O termo tsent chama-se resonante e tende ao infinito quando t → ∞, ao mesmo tempo que foi colocado acima que u deveria ser limitado ∀t ≥ 0. A apari¸c˜ao dos termos resonantes ´e caracter´ıstico nos problemas de oscila¸c˜ao n˜ao linear; nestes casos n˜ao podemos esperar que s´eries de Poincar´e sejam uniformemente adequadas.

4. M´etodo das Coordenadas Estendidas de Lindstedt

O m´etodo do pequeno parˆametro de Lindstedt foi introduzido para evitar a aparic¸˜ao de termos resonantes (por exemplo, tsent ou tcost) nas soluc¸˜oes perturbadas das equa¸c˜oes da forma

.

Na base do m´etodo de Lindstedt descansa a seguinte observac¸˜ao: a n˜ao linearidade muda a frequˆencia do sistema desde o valor de ω_o, que corresponde ao sistema linear, at´e ω(ε). Para evitar a mudan¸ca de frequˆencia, Lindstedt introduz uma nova vari´avel s = ωt e desenvolveu ω e u em s´erie de potˆencias de ε:

u = u_o(s) + εu₁(s) + ε²u₂(s) + …, ω = ω_o + εω₁ + ε²ω₂ + …,

e escolhendo os ω_i, i ≥ 1 adequados para evitar o aparecimento dos termos resonantes. Poincar´e em 1892 demonstrou que esta s´erie trigonom´etrica obtida ´e assint´otica.

5. Resultados Principais. M´etodo de Lindstedt-Poincar´e

Como j´a foi apontado acima, procurar a soluc¸˜ao em s´erie de potˆencias de ε da equa¸c˜ao

u⁰⁰ + ω_o²u = εf(u,u⁰) (5.10)

´e muito u´til somente para um intervalo pequeno do tempo, devido ao aparecimento de termos resonantes. A essencia do m´etodo de Lindstedt-Poincar´e consiste em evitar a aparic¸˜ao destes termos resonantes introduzindo uma nova vari´avel

t = s(1 + εω₁ + ε²ω₂ + …). (5.11)

Assim, (5.10) obt´em a forma

( 5.12)

.

Procurando a solu¸c˜ao de (5.10), em s´erie de potˆencias

, (5.13)

e igualando os coeficientes das mesmas potˆencias de ε, obtemos equa¸c˜oes para encontrar os u_m. As solu¸c˜oes dos u_m n˜ao cont´em termos resonantes somente para determinados valores de ω_m.

Proposi¸c˜ao 5.1. Os dois primeiros termos da s´erie assint´otica da equa¸c˜ao de Duffing

, (5.14)

s˜ao dados por

,

onde A e θ s˜ao constantes de integra¸c˜ao, e

Prova. Usando a transformac¸˜ao (5.11), obtemos

. (5.15)

Pondo a s´erie de poincar´e (5.13) em (5.15) e igualando os coeficientes das respectivas potˆencias εⁿ, obtemos

, (5.16)

(5.17)

. (5.18)

A solu¸c˜ao geral da equa¸c˜ao (5.16) tem a forma
uo = Acos(s + ϕ),	(5.19)

em que A e ϕ s˜ao constantes de integrac¸˜ao. Ent˜ao (5.17) e levando em considera¸c˜ao (5.19) tem a forma

. (5.20)

Para evitar a apari¸c˜ao de termos resonantes, escolhemos ω₁ no coeficiente de cos(s + ϕ) da parte direita de (5.20) como

. (5.21)

Ent˜ao a soluc¸˜ao de (5.20) ser´a

. (5.22)

Pondo as express˜oes para u_o,u₁ e ω₁ em (5.18), obtemos

(5.23)

onde TNR indicam express˜oes que n˜ao cont´em termos resonantes. Os termos resonantes desaparecem se

.

Por isto,

, (5.24)

onde a e θ s˜ao constantes de integrac¸˜ao, e

Figura 1: Soluc¸˜ao exata e solu¸c˜ao num´erica.

6. Equa¸c˜ao de Duffing n˜ao Amortecida e com For¸ca Motriz

Proposi¸c˜ao 6.1. Os dois primeiros termos da s´erie assint´otica da equa¸c˜ao de Duffing n˜ao amortecida com for¸ca motriz

, (6.25)

s˜ao dados por

Proposi¸c˜ao 6.2.

,

em que ,

,

e

β² + εη = 1, εη << 1.

Figura 2: Comparac¸˜ao da Soluc¸˜ao exata e soluc¸˜ao num´erica.

7. Equa¸c˜ao de Mathieu

Em qualidade do segundo exemplo consideremos a equa¸c˜ao de Mathieu

u⁰⁰ + (δ + εcos2t)u = 0. (7.26)

Esta equa¸c˜ao foi estudada suficientemente at´e exaust˜ao. Ela ´e um caso particular da equa¸c˜ao de Hille, u⁰⁰+K(t)u = 0, que ´e uma equa¸c˜ao diferencial linear com coeficientes peri´odicos. Escrevemos

δ = n² + εδ₁ + ε²δ₂ + …, (7.27)

e

u(t) = u_o + εu₁ + ε²u₂ + …, (7.28)

em que n ´e um nu´mero inteiro, a raz˜ao u_m/u_o ´e limitada para todo m. A u´ltima exigˆencia ´e necess´ario para que (7.28) seja um desenvolvimento assint´otico uniformemente adequado.

Pondo as express˜oes (7.27) e (7.28) em (7.26) e igualando os coeficientes das correspondentes potˆencias εⁿ, obtemos

, (7.29)

u⁰⁰₁ + n²u₁ = −(δ₁ + cos2t)u_o, (7.30) u⁰⁰₂ + n²u₂ = −(δ₁ + cos2t)u₁ − δ₂u_o. (7.31)

A solu¸c˜ao de (7.29) ´e da forma

(

cosnt,

u_o = n = 0,1,2,… (7.32)

sennt.

Encontremos as aproxima¸c˜oes para os casos n = 0,1 e 2.

Caso n = 0

Neste caso u_o = 1 e (7.30) tem a forma

(7.33)

Para que (7.28) seja um desenvolvimento assint´otico uniformemente adequado, δ₁ deve ser zero, por isto

(7.34)

onde c ´e uma constante. J´a conhecidos u_o e u₁, a equac¸˜ao (7.31) tem a forma

Para que a raz˜ao u₂/u_o seja limitada, ´e necess´ario que .

Portanto, .

Caso n = 1

Neste caso u_o = cost ou sent. Suponhamos u_o = cost, ent˜ao e (7.30) tem a forma

(7.35)

Para a limitac¸˜ao da raz˜ao u₁/u_o, devemos escolher , e por isto

(7.36)

Ent˜ao, a equac¸˜ao (7.31) tem a forma

Para que a raz˜ao u₂/u_o seja limitada, ´e necess´ario que . Portanto

.

Se teriamos usado u_o = sent, teriamos obtido

.

Caso n = 2

Neste caso u_o = cos2t ou sen2t. Suponhamos u_o = cost, ent˜ao e (7.30) tem a forma

(7.37)

Para a limitac¸˜ao da raz˜ao u₁/u_o, devemos escolher δ₁ = 0, e por isto

(7.38)

Ent˜ao, a equac¸˜ao (7.31) tem a forma

Para que a raz˜ao u₂/u_o seja limitada, ´e necess´ario que . Portanto

.

Se teriamos usado u_o = sen2t, teriamos obtido

.

Figura 3: Autofunc¸˜oes da equac¸˜aode Mathieu com n = 2 e ε = 10⁻².

Referˆencias

1. Nayfeh, A.H. – Peturbation Methods., John Wiley and Sons, 1976, New York.
2. Poincare, H.´ – New Methods of celestialmechanics, Vol. I-III,NASA TTF-450,1967.
3. Bauer,H.F. – Nonlinear Response of elastic Plates to Pulse Excitations, J. Appl.Mech., 35, 47-52, 1968.