REGISTRO DOI: 10.69849/revistaft/ar10202412301026
Nestor de Souza Freire
RESUMO – No IV século a.C. os matemáticos (filósofos da época) já estudavam os números primos. Aristóteles, matemático (grego), (384 – 322 a.C.), criou o Crivo de Aristóteles, propriedade usada até os dias de hoje para identificar números primos. Euclides, matemático que viveu no IV século antes de Cristo, escreveu que os números primos integram um conjunto infinito, (o conjunto dos números primos).Vários matemáticos, no decorrer da História, apresentaram obras que auxiliam na identificação dos números primos, os que demonstraram métodos ou propriedades que dão certos para definir um determinado número que seja primo, em qualquer ponto da escala numérica, escreveram suas expressões em símbolos desconhecidos dos homens modernos, por isso tais expressões caíram no esquecimento e foram aceitas como expressões que não deram certo na definição dos números primos. O método mais usado para definir números primos ainda em nossos dias é a divisão sucessiva, em que os divisores são números primos em sequência. O matemático Christian Goldebach (1690 – 1764) apresentou sua obra intitulada Conjectura de Goldebach, que prova que todos os números pares ³ 4 podem ser compostos pela soma de dois números primos. (Grifo nosso). O matemático francês: Marin Mersenne (08/09/1558 – 01/09/1648) escreveu que os números primos seriam os antecessores de potência de base dois, (2n – 1). Provamos que sucessores de potência de base dois (2), para expoente n par (2n + 1) e n ≥ 2, pode ser número primo. E antecessor de potência de base dois (2), expoente n ímpar (2n – 1) e n > 2.
Palavras-chave: O método. Matemática. Números primos. Sucessores e antecessores.
ABSTRACT – In the 4th century BC, mathematicians (philosophers of the time) were already studying prime numbers. Aristotle, a Greek mathematician (384–322 BC), created the Aristotle Sieve, a property still used today to identify prime numbers. Euclid, a mathematician who lived in the 4th century BC, wrote that prime numbers are part of an infinite set (the set of prime numbers). Throughout history, several mathematicians have presented works that help in the identification of prime numbers. Those who demonstrated methods or properties that are successful in defining a given number that is prime, at any point on the numerical scale, wrote their expressions in symbols unknown to modern men, which is why such expressions fell into oblivion and were accepted as expressions that did not work in defining prime numbers. The most widely used method to define prime numbers even today is successive division, in which the divisors are prime numbers in sequence. Mathematician Christian Goldebach (1690 – 1764) presented his work entitled Goldebach’s Conjecture, which proves that all even numbers 4 can be composed by the sum of two prime numbers. (Our emphasis). French mathematician Marin Mersenne (09/08/1558 – 09/01/1648) wrote that prime numbers would be the predecessors of a power of base two, (2n – 1). We proved that successors of a power of base two (2), for an even exponent n (2n + 1) and n 2, can be prime numbers. And predecessors of a power of base two (2), for an odd exponent n (2n – 1) and n > 2, can also be prime numbers.
Keywords: The method. Mathematics. Prime numbers. Successors and predecessors.
INTRODUÇÃO
O filósofo e matemático francês. “Jules Henri Poincaré” escreveu uma equação que, segundo ele, definiria todos os números primos, mas a mesma equação não foi resolvida por nenhum matemático no decorrer da história.
No século XXI estamos demonstrando que os números primos, tal que P ≥ 5 são antecessores e sucessores do número seis (6) e seus múltiplos. E que o produto envolvendo
“Números Primos” foi opção do título escolhido há mais de dois milênios pelos estudiosos dos números na época. Primo é uma palavra latina que significa: primeiro.
Os números primos não são compostos por fatores, portanto não têm fatores nem divisores; dividem por um (1) e pelo próprio número (n), falando em números Naturais. Estudando os números inteiros, os números primos têm quatro (4) divisores: um (1), o próprio número (n), um negativo (-1) e seu oposto (-n). Esta propriedade já foi expressa pelo pesquisador dos números, Gelson Iezzi, em sua obra Álgebra Moderna, 1995. (Grifo nosso).
Fundamentado nessas propriedades, os números primos negativos também serão integrados ao Conjunto dos Números Primos. Visto que os números primos negativos obedecem às mesmas propriedades dos números primos positivos, têm quatro (4) divisores: um (1), o próprio número (n), um negativo (–1) e seu oposto (-n).
Demonstramos Conjunto e Subconjuntos dos números primos e suas representações geométricas.
Apresentamos os números primos gêmeos, são números ímpares consecutivos, antecedem e sucedem de um mesmo múltiplo de seis e ambos são números primos. Exemplos: {(3, 5); (5, 7); (11, 13); (17, 19); (29, 31); (41, 43); (59, 61); (71, 73); (101, 103); (107, 109) …}. Demonstramos as propriedades para identificar os números primos gêmeos.
POTÊNCIA DE NÚMEROS PRIMOS
A ordem dos números com unidade igual a cinco será sempre esta, antecessores de múltiplos de seis, múltiplos de três e sucessores de múltiplos de seis.
Trata-se de uma expressão que nos auxilia identificar os números primos tal que P ≥ 5, entre os antecedentes e sequentes de múltiplos de seis. Calcula-se o percentual de números primos e números compostos entre dois números de três divisores que são as potências de números primos. Também destacamos números primos em intervalos. Um intervalo, uma pequena divisão da escala numérica.
Determinar números primos e fatorar números composto, é um estudo de caso, e a metodologia para desenvolver figuras dos números primos, neste estudo desenvolveu-se figura com números antecessores ou sucessores de múltiplos de seis, os números primos são destacados, o hexágono de números primos está destacado nesse estudo. As Figuras de números primos é resultado de pesquisas realizadas por este autor, com registro no Escritório dos Direitos Autorais – Biblioteca Nacional do Rio de Janeiro em 05/12/2011.
A MATEMÁTICA E A EVOLUÇÃO DA CIÊNCIA
A Matemática é chamada de ciência mãe. É uma das primeiras ciências descoberta pelo o homem, e também é a ciência responsável pelo avanço das demais ciências; em média de 80% de desenvolvimento da ciência tecnológica é fundamentado na Matemática.
O desenvolvimento da física aguarda que os matemáticos demonstrem e mostrem o caminho, abram as portas e os físicos sigam os passos. Assim para a mecânica, acústica, cinemática, a física espacial e a medicinal.
Um dos primeiros registros dos estudos dos números primos data-se do IV século antes de Cristo, os números que têm apenas dois divisores, um e o próprio número, estudos de Aristóteles, o crivo que levou o seu nome. “Método em que usava na identificação dos números que dividem por um (1) e pelo próprio número (n)”. Este é um método usado até os nossos dias.
Demonstramos na sequência da figura abaixo que as unidades dos números primos que vão para o infinito são: (1, 3, 7, e 9). Aos números primos com unidades (2, 5) somente as unidades são números primos.
A sequência de Fibonacci apresenta: {1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377… qualquer número dividido pelo seu anterior é igual ou valor próximo a (1,6), 377: 233 = 1,6180257511; o número de ouro é o fundamento de toda a existência. O Céu, a Terra, plantas, animais, até o corpo humano apresenta traços dos números de ouro.
A sequência de Fibonacci mostra o mistério da matemática na formação do corpo humano. Se o visível e o invisível vierem a existência por esta sequência; a matemática é a linguagem da criação do mundo e a existência de todas as coisas. Almejam pelo avanço da matemática; esta pode abrir portas para a ampliação da ciência, pode oferecer mais comodidade, bem-estar e vida saudável para os habitantes do nosso planeta.
HEXÁGONO DOS NÚMEROS PRIMOS
Para podermos explicar a ciência que há na criação desse hexágono confeccionamos um banner, nele está exposta propriedades dos divisores ainda não questionadas no desenvolvimento científico, produtos da unidade do divisor pela unidade do quociente que é igual à unidade do dividendo. Os números escritos em negrito, itálico e sublinhados que vimos nessa arte demonstram essa propriedade.
A arte na ciência mostra apenas uma parte dessa rica beleza, pois quanto maior é o conhecimento adquirido mais podemos explorar o que a natureza tem a nos oferecer. A cultura mais perfeita que podemos conquistar é explorar o que a natureza nos propõe sem prejudicar o meio em que vivemos.
O conjunto dos números ímpares é composto pelo número um, três, números ímpares múltiplos de três e antecedentes e sequentes do número seis e seus múltiplos.
Os números primos são números estudados há vários séculos. Um dos primeiros a registrar estudos dos números que dividem por um (1) e pelo próprio número, foi Aristóteles. Matemático e filósofo grego. O título: “Números Primos”, (primeiros ou únicos), os números primos são os primeiros dos múltiplos de um número com apenas dois divisores, um (1) e o próprio número (n). Os demais são números compostos, produtos envolvendo números primos. (Grifo nosso).
Até aqui os números primos são: os números inteiros positivos. Podemos lembrar que o Conjunto dos Números Primos não está definido com precisão. (Grifo nosso).
Os números que não são os primeiros dos múltiplos de um número são chamados: números compostos.
Os números compostos são os números que têm pelo menos um fator diferente de um (1) e divide ao menos por três divisores, lembrando que todos os números se dividem por um (1) e pelo próprio número (n). Embora os números primos estão espalhados por toda a escala numérica há longo intervalos sequentes de números compostos consecutivos (Grifo nosso).
O número um (1) não é número primo, tem apenas um divisor, um (1) e ele mesmo, os números primos têm dois divisores. O número um (1) é divisor de qualquer e todos os demais números.
CRIVO DOS ANTECESSORES E SUCESSORES DOS MÚLTIPLOS DE SEIS MENORES QUE 300
Dos números acima, apenas 60 números são números primos. Veja, a seguir, o conjunto dos números primos menores que 300. O número 300 é o 50o múltiplo de seis (6), há 99 antecessores e sucessores dos múltiplos de 6 menores que 300.
Existem 61 números primos menores que 300. Entre esses estão (2 e 3), os quais são os números primos que não são antecessores ou sucessores do número seis (6) e seus múltiplos com fatores naturais; também os números primos (2, 3) não obedecem a todas as propriedades que os demais números primos λ ≥ 5 obedecem.
Todos os produtos envolvendo antecessores e sucessores do número seis (6) e seus múltiplos, números primos ou compostos são também um antecessor ou sucessor de um múltiplo de seis (6).
Multiplicando números primos antecessores por sucessores de múltiplos de seis, os produtos são antecessores dos múltiplos de seis.
Os produtos envolvendo antecessor do número seis (6), e seus múltiplos são com certeza, um sucessor de um múltiplo de seis (6).
Os produtos da tabela acima são todos (6λ + 1), ou seja: são sucessores dos múltiplos de seis (6), porque seus fatores são antecessores do número seis (6) e seus múltiplos.
Os números em que a unidade é cinco são múltiplos de cinco, entre os múltiplos de cinco só a unidade é número primo, porque 5 é um divisor contínuo, (5, 10, 15, 20, 25, 30): 5 e o quociente será {1, 2, 3, 4, 5, 6…}. Números com unidades iguais a cinco são os que repetem com mais frequência entre os antecedentes e sequentes dos múltiplos de seis, em cada três números com unidade cinco, um é antecessor de múltiplos de seis, outro é múltiplo de três e outro é sucessor de múltiplos de seis. Exemplo: 5 é antecessor de seis, 15 é múltiplo de três e 25, é sucessor de vinte e quatro que é múltiplo de seis. 35 é antecessor de 36 que é múltiplo de seis, 45 é múltiplo de três, 55 é sucessor de 54 que é múltiplo de seis. E nessa ordem, antecessor, múltiplo de três e sucessor; os números ímpares múltiplos de cinco são distribuídos em toda escala numérica.
A unidade dos múltiplos de seis poderá definir os números com probabilidade de ser números primos em uma dezena, {12, 18} são múltiplos de seis (6). Então {11, 13, 17, 19} são antecessores e sucessores de múltiplos de seis e são números primos. Quinze (15) é múltiplo de três (3). Veja agora esta unidade, {24 e 30} são múltiplos de seis (6). {23, 29} são antecessores dos múltiplos de seis e são números primos. {21, 27} são múltiplos de três e {25} é múltiplo de cinco (5). Portanto é um número composto. {30 e 36} são múltiplos de seis, {31,37} são sucessores de múltiplos de seis e são números primos. {33, 39} são múltiplos de três (3) e {35} é múltiplo de cinco (5) é número composto. {42 e 48} são múltiplos de seis, {41, 43, 47, 49} são antecessores e sucessores de múltiplos de seis nesta dezena e poderá ser números primos. {45} é múltiplo de três. Quarenta e nove (49) é número composto por ser potência de número primo, 7² = 49. {54 e 60} são múltiplos de seis. {53, 59} são antecessores de múltiplos de sies e são números primos. {51, 57} são múltiplos de três e {55} é múltiplo de cinco, embora seja sucessor de cinquenta e quatro (54) que é múltiplo de seis é um número composto. (60 e 66) são múltiplos de seis, (61 e 67) são antecessores e sucessores de múltiplos de seis e são números primos, (65) é antecedente de 66 que é múltiplo de seis, é números composto, é produto de (5 x 13), (63 e 69) são múltiplos de três. (72 e 78) são múltiplos de seis, {71, 73 e 79} são números primos, 77 embora antecessor de setenta e oito que é múltiplo de seis é números composto, por ser múltiplo de (7 x 11), setenta e cinco é múltiplo de três. (84 e 90) são múltiplos de seis, (83 e 89) são números primos, (81 e 87) são múltiplos de três, 85 é sucessor de (84) que é múltiplo de seis, mas, é número composto por ser produto de (5 x 17). Noventa e noventa e seis (90, 96) são múltiplos de seis, {91, 95, 97} são antecessores e sucessores de múltiplos de seis nesta dezena e noventa e um (91) é número composto por ser produto {7 X 13= 91}, noventa e cinco (95) é produto {5 X 19 = 95}, então é número primo nesta dezena é noventa e sete (97). Cento e dois (102) e cento e oito (108) são múltiplos de seis, {101, 103, 107, 109} são antecedentes e sequentes dos múltiplos de seis na dezena em estudo todos os números acima são números primos. Cento e cinco (105) é múltiplo de três (3), é número composto.
OPERAÇÕES ENVOLVENDO NÚMEROS PRIMOS – ADIÇÃO
A soma de quaisquer números primos é um número par {5 + 7 = 12}; doze é número par é a soma de dois números primos. O mesmo se dá com a some de onze mais sete, {11 + 7 = 18}; dezoito é número par e é a soma de dois números primos. E a soma dos números primos vinte e nove, mais o número primo dezessete, {29 + 17 = 46}; é um número par, soma de dois números primos. E a adição de cento e um mais cento e três, {101 + 103 = 204}; também é número par, por ser a soma de dois números primos. Esta propriedade da adição de números primos a soma ser número par acontece com números primos em qualquer ponto da escala numérica. {1.012.829 + 1.012.831 = 2.025.660}. Também é número par, porquanto é soma de números primos.
A multiplicação envolvendo números primos, se um dos fatores for dois (2), o único número primo par, o produto é número composto e par.
O produto envolvendo {3.3 = 9}; que são dois números primos, é um número composto e ímpar. E o produto envolvendo {3.7 = 21}; vinte e um é número ímpar, composto e produto de dois números primos e múltiplo de três. O produto envolvendo os dois números primos a seguir, {3.31 = 93}; noventa e três é número composto, ímpar e produto de dois números primos e é múltiplo de três. Todavia o produto envolvendo os números primos a seguir {3.97 = 291}; duzentos e noventa e um é número composto, ímpar, múltiplo de trê e produtos de dois números primos. Um mil e nove é o primeiro número primo maior que um mil, o produto deste número: {3.1009 = 3027}; três mil e vinte e sete é número composto, ímpar, múltiplo de três e produto de dois números primos.
Divisão envolvendo números primos será número decimal, exceto quando a divisão é pelo próprio número primo ou o divisor é o número um (1).
RELACIONANDO DIVISÃO DE NÚMEROS PRIMOS COM SEUS DIVISORES
Os números dois (2) e o número três (3) são números primos, quando números primos é elevado a expoente dois (2) a potência tem três (3) divisores. Os divisores do número quatro d(4) = {1, 2, 4}, e os divisores de nove d(9) = {1, 3, 9} também são três divisores, e a potência do número trinta e um elevado ao quadrado 31² = (961), os divisores d(961) = {1, 31, 961}, também são três divisores. Os divisores de potência de números primos, tal que P ≥ 5, são antecessores ou sucessores de múltiplos de seis. E produto de números primos que são números de dois divisores são números de quatro (4) divisores {2.3 = 6}, seis é produto de números primos então é um número de quatro divisores, D (6) = {1, 2, 3, 6}. O mesmo se dá com produto de quaisquer números primos, {11 X 13 = 143}; d (143) = {1, 11, 13, 143} e a propriedade dos divisores de números primos vai para o infinito.
Os números quadrados perfeitos são as potências de um número elevado a expoente (2). Todos os números primos elevado ao quadrado são números que têm apenas três divisores, O conjunto dos números de três divisores é subconjunto do conjunto dos números primos. Todos os números primos elevados ao quadrado a potência têm três (3) divisores. A raiz quadrada de um número de três divisores é um número primo.
A radiciação de números primos jamais será possível, pois são números irracionais e se o número é primo não poderá ser quadrado perfeito.
O que nós podemos demonstrar é a operação de raiz quadrada para números primos elevados ao quadrado, a raiz será um número primo.
Esse método é conhecido para efetuar raiz quadrada, como a fatoração é um sistema mais seguro; menos trabalhoso para definir radiciação; o método apresentado caiu no esquecimento.
NÚMEROS PRIMOS GÊMEOS
Primos gêmeos são números ímpares consecutivos que são números primos consecutivos, antecessor e sucessor de um mesmo múltiplo de seis e ambos são números primos. “Brum provou um resultado esclarecedor para primos gêmeos. π2(x) = x/(log x)2). A preposição seguinte, tem provas mais simples e já é suficiente para garantir que a série dos inversos dos primos gêmeos convergem”. “Teoria dos Números pag. 315”.
Os pares de números demonstrados acima não são primos gêmeos, em cada antecedente ou sequente de um mesmo múltiplo de seis, apenas um (1), ou nenhum são números primos porque são produtos envolvendo números primos. Os números primos gêmeos repetem em toda escala numérica, quando antecessor ou sucessor de um mesmo múltiplo de seis ambos são primos. (2,3,5,7) (2,3 são os únicos números primos sequentes em toda escala numérica (3,5,7) são três números.
O Conjunto dos Números Primos é diferente dos demais conjuntos numéricos, os números intercalados, ímpares, pares, múltiplos de um determinado número λ e etc. Os elementos repetem de dois em dois, três em três, quatro em quatro, λ em λ Ímpares consecutivos que são números trigêmeos formam de pares de primos gêmeos (3,5) (5 e 7). O número 5 é o único número primo que participa de dois pares de primos gêmeos em toda a escala numérica (Grifo nosso).
CALCULANDO OS NÚMEROS PRIMOS (2, 3 e 5) COM AUXÍLIO DA EXPRESSÃO
Quando substituímos λ por números menores que um, (1) podemos identificar, com auxílio da expressão os números primos menores que seis (2, 3), que não são antecessores ou sucessores do número seis (6) e seus múltiplos.
Dois, três e cinco (2, 3, 5) são números primos. No intervalo de (1 – 6), a variável “λ ” varia de: {1/6, 2/4}. No intervalo (1 – 6), 50% são números primos e 50% são compostos.
NÚMEROS PRIMOS E A GEOMETRIA
Os antecessores e sucessores dos múltiplos de seis se identificam com a geometria. Nos intervalos em que todos os antecessores e sucessores dos múltiplos de seis são números primos, esses representam o comprimento de um retângulo em que a largura é igual a 3 unidades, nos intervalos em que existem números compostos entre os antecedentes e sequentes dos múltiplos de seis, alterando este valor.
DEMONSTRANDO A EXPRESSÃO
Com auxílio da expressãodemonstrada acima identificamos os antecedentes ou sequentes de múltiplos de 6, podemos identificar números primos ou compostos. (6 . 1 – 1 = 5), é um número primo, (6 . 1 + 1 = 7), é número primo. (6.2 – 1 = 11), também é número primo, ((6 . 2 + 1 = 13), é número primo; (6 . 3 – 1 = 17), é um número primo, (6 . 3 + 1 = 19), é número primo, (6 . 4 – 1 = 23), é número primo, (6 . 4 + 1 = 25, é número composto, pois e potência de número primo 52 = 25. A expressão apresentada acima, nos auxilia a identificar números primos em pontos variados da escala numérica.
RESULTADOS
No intervalo [48 – 120] 20,83% são números primos e 79,17% números compostos. 62,5% são números primos e 37,5% números compostos entre antecedentes e sequentes dos múltiplos de seis.
Contando Antecessores e Sucessores dos Múltiplos de Seis. Para identificar o conjunto dos antecessores e sucessores dos múltiplos de seis (6) em um intervalo, resolvemos a equação a seguir. (Grifo nosso).
Os antecessores e sucessores dos múltiplos de seis correspondem a um terço (1/3) de todos os números de um intervalo. A expressão que definimos com esta propriedade dos antecedentes e sequentes dos múltiplos de seis pode ser simplificada, {3λ + p(k – 1)² – 1 = p(k)² – 1}. Isto é válido para todos e qualquer intervalo.
São os antecedentes e sequentes dos múltiplos de seis no intervalo (24 – 48), {29, 31, 37, 41, 43, 47} são números primos neste intervalo.
No intervalo (6 a 24) e nos demais intervalo [(Pk – 1)2 – 1] a [(Pk)2 – 1], a porcentagem dos antecessores e sucessores de múltiplos de seis (6), é sempre a mesma, a dízima periódica 33,333… A porcentagem dos números primos em cada intervalo varia na proporção dos antecedentes e sequentes de múltiplos de seis (6), que são números compostos em cada intervalo.
Para identificar os números compostos entre os antecessores e sucessores dos múltiplos de seis demonstrados acima, dividimos os limites do intervalo, (120 e 168). Nesse intervalo os números compostos são múltiplos de (5, 7, 11), que já são conhecidos, os [120 / 5] = 24; [168 / 5] = 33,6; os fatores por5 e os produtos são números compostos, são (6λ – 1) e (6λ + 1) no intervalo, (24 a 33,6). Para que os produtos de 5 sejam do intervalo (120 a 168), 5 x [25, 29, 31]. Neste intervalo os múltiplos de cinco (5) que são números compostos entre os antecedentes e sequentes de múltiplos de seis são: {125, 145, 155}. [120 / 7] = 17,1; [168 / 7] = 24; os fatores para 7, são os (6λ – 1) e (6λ + 1), no intervalo (17,1 a 24). Para que os produtos de 7 sejam, (6λ – 1) e (6λ + 1), no intervalo (120 a 168), 7 x [19, 23]. Os números compostos entre os antecedentes e sequentes dos múltiplos de seis múltiplos de sete são: {133, 161}.
Um quadrado de lado 17 unidades e um quadrado de lado 13 unidades é igual, no quadrado de lado 13 unidades já identificamos os números primos, o que nos resta descobrir é a diferença do quadrado atual pelo anterior. {168 a 288}, os números que aparecem na escala numérica antecedem ou sucedem em múltiplos de seis (6), são primos, exceto os múltiplos de (6λ – 1) ou (6λ + 1) £ (Pk – 1) £ 13. Portanto, no intervalo entre: (168 a 288), os números que são compostos são múltiplos de: [5, 7, 11, 13]. Identificando a variável λ: dividimos os limites do intervalo (168 e 288) por (6), temos: [168 / 6] = 28; [288 / 6] = 48, a variável λ: são os números naturais no intervalo (28 a 48), λ= [28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48]. os cálculos que o homem desejar efetuar.
DISCUSSÃO
Na grande busca pelos números primos por mais de dois milênios, o matemático francês, Marin Mersenne (08/09/1558 – 01/09/1648), definia os números primos como antecessor de potência de base dois (2n – 1). Acreditava-se que os números primos são os números que na escala numérica seria um antecessor de potências de base dois, (2n – 1). Esta propriedade não está completa, pois os que têm probabilidade de serem números primos entre os antecessores e sucessores de potências de base dois (2) são: (2n ± 1). Obedecendo a uma condição, (2n + 1) para “n” par e (2n – 1) para expoente “n” ímpar o único número primo para (22 – 1) para n par é o três, porque é o primeiro dos números ímpares múltiplos de três (3) e é antecessor de quatro que é uma potência de base dois, sendo antecessor de quatro que é uma potência de base dois, o primeiro dos múltiplos de três é número primo.
2³ = 8, 8 + 1 = 9 é múltiplo de três, 2³ = 8, 8 – 1 = 7, sucessor de seis é número primo. 25 = 32, 32 + 1 = 33 é múltiplo de três, 25 = 32, 32 – 1 = 31, sucessor de 30 que é múltiplo de seis é número primo. 27 = 128, 128 + 1 = 129 é múltiplo de três, 27 = 128 – 1 = 127, sucessor de 126 que é múltiplo de seis é um número primo. 29 = 512, 512 + 1 = 513 é múltiplo de três, 29 = 512, 512 – 1 = 511 embora sucessor de 510 que múltiplo de seis é número composto devido ser produto de números primos 7 x 73 = 511. 211 = 2048, 2048 + 1 = 2049 é múltiplo de três, 211 = 2048, 2048 – 1 = 2047, mesmo sendo sucessor de 2046 que é múltiplo de seis é produto de 23 x 89 = 2047, portanto é número composto. 213 = 8192, 8192 + 1 = 8193 é múltiplo de três, 213 = 8192, 8192 – 1 = 8191, sucessor de 8190 que é múltiplo de seis, é um número primo. 215 = 32768, 32768 + 1 = 32769 é múltiplo de três, 215 = 32768, 32768 – 1 = 32767 é número composto, sucessor de 32766 que é múltiplo de seis, porém produto de 7 x 4681 = 32.767, portanto é número composto. 217 = 131072, 131072 + 1 = 131073 é múltiplo de três, 217 = 131072, 131072 – 1 = 131071, sucessor de 131070 que é múltiplo de seis e é número primo. 219 = 524288, 524288 + 1 = 524289 é múltiplo de três, 219 = 524288, 524288 – 1 = 524287, sucessor de 524286 que é múltiplo de seis, portanto 524287 é número primo.
Identificando primos gigantes, dois (2) é o primeiro dos números pares e é número primo. Três (3) é o primeiro dos múltiplos de três, divide apenas por um (1) e pelo próprio número, é número primo. Quatro (4) é o segundo dos múltiplos de dois e é número composto. Cinco (5) é o primeiro dos múltiplos de cinco, tem apenas dois divisores, um e o próprio número, por esta propriedade é número primo. Seis (6) é o segundo dos múltiplos de três e terceiro dos múltiplos de dois, é número composto. Sete (7) é o primeiro dos múltiplos de sete é divisível por um (1) e pelo próprio número, é número primo. Oito (8) é quarto dos números pares e é número composto. Nove (9) é o terceiro dos múltiplos de três e é número composto. Dez (10) é o quinto dos múltiplos de dois e o segundo dos múltiplos de cinco é número composto. 25, é um sucessor de múltiplos de seis, mas é número composto porque é o produto envolvendo números primos. Até aqui os números primos são: os números inteiros positivos, mas podemos lembrar que o Conjunto dos Números Primos não está definido. Os produtos de cinco (5) por números menores que cinco (5) não são antecessores ou sucessores de múltiplos de seis (6). Os produtos envolvendo o número cinco (5), por fatores ³ cinco, tal que λ > 24, são números pares, múltiplos de três e múltiplos de cinco.
Os produtos envolvendo o número sete (7), por fatores menores que o número citado é menor que 48 e são número compostos: (Grifo nosso).
Primo é uma palavra latina que significa “primeiro e único”. Ela foi escolhida para denominar o conjunto de números inteiros divisíveis apenas por: um (1) e pelo próprio número (n). Os números primos são aplicados para criar códigos secretos de computadores, criando fórmula do produto de dois primos gigantes, que se torna um monumental número composto, o segredo só será desvendado por quem descobrir os dois primos usados por fatores. (Giovanni et al 2002, p. 106).
A principal aplicação dos números primos, conhecida pelo homem, é a chave de segurança, (senha). Apresentamos a aplicação dos números primos na distribuição das células dos cromossomos e concentração de proteínas. O estudo dos números primos poderá nos levar a conhecimento mais avançado da vida e tratamento de doenças genéticas. O conhecimento matemático poderá elevar o avanço científico.
CONCLUSÃO
A potência de base dois é importante para localizar números com probabilidade de ser números primos em um ponto avançado da escala numérica.
As potências de base dois são referências de alguns números primos, mas não são referência para todos os números primos. Essa potência se identifica sucessores de múltiplos de seis para expoente n par e antecessores de múltiplos de seis para expoente n ímpar, a maior referência que não falha são os múltiplos de seis (6). Nem todos os antecedentes e sequentes dos múltiplos de seis são números primos, também nem todos os antecessores de potências de base dois com expoentes n ímpares ou sucessores das potências de base dois com expoentes n pares são números primos.
As propriedades dos números primos parecem falhar, mas não falham, como também não falha o produto de números primos maiores e iguais a cinco. Eles são antecessores ou sucessores dos múltiplos de seis. Se 5 . 5 = 25; 5 . 7 = 35; 7 . 7 = 49; 5 . 11 = 55; 5 . 13 = 65; 7 . 11 = 77; 5 . 17 = 85; 7 . 13 = 91; 5 . 19 = 95; 5 . 23 = 115; 7 . 17 = 119; 7 . 19 = 133; (…), estes produtos acontecem tão naturalmente, os quais são números compostos. Quanto também os antecedentes e sequentes dos múltiplos de seis que não são produtos envolvendo números primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, (…), acontecem naturalmente e são números primos. Não podemos discordar com a natureza dos números, pois são números com apenas dois divisores ou compostos:
Teorema dos números primo. Este resultado foi conjecturado, vários matemáticos, inclusive por Legender e GauB, mas a demonstração completa só foi encontrada em 1896, por de la Vallée Poussin e Hadamard (independentemente). Não demonstraremos este teorema aqui: As demonstrações elementares são todas bastante difíceis (lembramos uma demonstração é dita elementar quando não usa ferramentas avançadas: Muitas demonstrações são longas e sofisticadas (Alencar Filho, 1987, p. 309).
Os matemáticos, até então, entenderam parcialmente os números primos. Os estudantes de matemática também conseguiram compreender parcialmente os números que dividem por um (1) e pelo próprio número, nem mesmo “Legender” e “GauB” conseguiram entender completamente o teorema apresentado por eles.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
ALENCAR FILHO, Edgar Teoria elementar dos números, ed. Nobel, São Paulo 1987.
GIOVANI, José Ruy. GIOVANE, José Ruy & CASTRUCCI, Benedito. A conquista da matemática. São Paulo: FTD, 2002