INTEGRAÇÃO DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS (EDO) E (EDP) COM AS METODOLOGIAS ATIVAS NO ENSINO DO CÁLCULO COM APLICAÇÕES AS ENGENHARIAS E FÍSICA DOS MATERIAIS

Engenharias, Volume 29 - Edição 146/MAI 2025 / 21/05/2025

REGISTRO DOI: 10.69849/revistaft/cl10202505151938

Cícero José da Silva
Willames de Albuquerque Soares
Sérgio Mário Lins Galdino
Jornandes Dias da Silva
Juan Carlos Oliveira de Medeiros

Resumo

Este artigo explora a integração das equações diferenciais (EDO) e (EDP) com as metodologias ativas no ensino do Cálculo e suas aplicações práticas as engenharias e física dos materiais, focados em projetos, exemplos práticos em uma viga sobrecarga distribuída ( EDO de segunda ordem),decaimento radioativo (EDO de primeira ordem) e para finalizar um problema de onda (EDP clássica) buscando propor desafios e questionamentos usando recursos computacionais, simular, valores diferentes para c ( velocidade da onda) e ver o que ocorre graficamente, considerar funções iniciais diferentes com forma triangular, quadrado, delimitar uma fronteira maior tudo `a luz das simulações.

Palavras-chave: Equações Diferenciais Ordinárias, Equações Diferenciais Parciais, Metodologias Ativas, Ensino de Cálculo, Simulações Computacionais, Engenharia, Física dos Materiais.

1. Introdução

O ensino de equações diferenciais ordinárias (EDOs) ´e um pilar fundamental no currículo de cálculo para as engenharias e ciências. A resolução dessas equações permite modelar uma grande variedade de fenômenos físicos e de engenharia, como a deflexão de vigas, o decaimento radioativo e a propagação de ondas. Embora a aprendizagem das EDOs seja essencial, ela pode ser desafiadora para os estudantes. Neste contexto, metodologias ativas de ensino oferecem uma abordagem inovadora que pode melhorar a compreensão, engajamento e aplicação prática dos conceitos.

As metodologias ativas, como a sala de aula invertida, aprendizagem baseada em problemas (PBL) e o uso de tecnologias de simulação e visualização, têm sido cada vez mais adotadas em diversas disciplinas. No caso das EDOs, essas abordagens podem ser usadas para tornar o aprendizado mais dinâmico, permitindo aos alunos explorar problemas reais de engenharia e física de maneira interativa. Este artigo visa integrar as EDOs com metodologias ativas, utilizando dois exemplos: o problema de deflexão de uma viga (engenharia) e o problema de decaimento radioativo (física). integrar as EDP com metodologias ativas, utilizando exemplo da equação de onda, poderia ser o mesmo modelo da modelagem matemática para transmissão de calor.

2. Deflexão de uma Viga Sob Carga Uniforme: EDO de Segunda Ordem

Consideremos uma viga de apoio simples, com comprimento L = 5m, sujeita a uma carga distribuída uniforme q(x) = 100N/m. O objetivo ´e calcular a deflexão máxima da viga, utilizando a equação diferencial que descreve o comportamento da viga sob carga.

A equação que descreve a deflexão de uma viga submetida a uma carga distribuída uniforme é dada por:

onde y(x) é a deflexão da viga, E é o módulo de elasticidade e I é o momento de inércia da viga. Para uma carga distribuída uniforme q(x) = 100N/m, a equação diferencial se torna:

Esta equação pode ser resolvida considerando as condições de contorno y(0) = 0 e y(L) = 0, que representam as condições de apoio simples na viga. A solução geral para a deflexão da viga é dada por:

Agora, substituindo os valores de L = 5m, E = 2 × 1011 N/m2, I = 1.2 × 10−6 m4, e q = 100N/m, podemos calcular a deflexão máxima ymáxima da viga. Esse processo pode ser visualizado e simulado com softwares como MATLAB, Wolfram Mathematica ou Python, proporcionando uma abordagem prática e visual para o entendimento das soluções de EDOs. [darkgreen] 1000*exp(-ln(2)*x);

3. Introdução

Neste documento, será apresentada a deflexão de uma viga de apoio simples submetida a uma carga distribuída constante ao longo de seu comprimento.

4. Problema

Uma viga de apoio simples com comprimento L = 5m, módulo de elasticidade E = 2×1011 N/m2, momento de inércia I = 1.2×10−6 m4 e carga distribuída q(x) = 100N/m será analisada. A deflexão máxima ocorre no centro da viga, e o gráfico da deflexão ao longo do comprimento da viga será calculado.

5. Equação da Deflexão

A deflexão y(x) ao longo da viga é dada pela seguinte equação:

onde x é a posição ao longo da viga.

6 Gráfico da Deflexão

O gráfico a seguir mostra a deflexão da viga ao longo de seu comprimento L = 5m.

7. Decaimento Radioativo: EDO de Primeira Ordem

O decaimento radioativo é descrito por uma equação diferencial de primeira ordem:

onde N(t) é a quantidade de material radioativo no tempo t e λ é a constante de decaimento. A solução dessa equação é dada por:

onde N0 é a quantidade inicial de material radioativo. Se tomarmos N0 = 1000g e λ = 0.1ano−1, a quantidade de material radioativo após 5 anos será:

Simulação Gráfica do Decaimento Radioativo com Meia vida = 1

A equação diferencial que rege o decaimento radioativo é:

Para este caso, utilizamos:

  • N0 = 1000
  • λ = ln(2) ≈ 0,693, o que implica meia-vida igual a 1
  • t ∈ [0,10]

Tempo t

Figura 2: Gráfico do decaimento radioativo com meia-vida igual a 1 unidade de tempo.

Simulação Gráfica do Decaimento Radioativo

A equação diferencial do decaimento radioativo é dada por:

Onde:

  • N0 = 1000 (número inicial de partículas),
  • λ = 0,2 (constante de decaimento),
  • t em segundos.

Este problema pode ser abordado em sala de aula de forma interativa, com os alunos utilizando ferramentas de simulação para analisar como diferentes valores de λ afetam o tempo de vida do material radioativo.

Tempo t (s)

Figura 3: Simulação do decaimento radioativo ao longo do tempo.

8. Integração das EDOs com Metodologias Ativas

A integração das EDOs com metodologias ativas permite que os alunos se envolvam de maneira prática com os conceitos, aplicando-os a problemas reais. Algumas abordagens incluem:

  • Sala de Aula Invertida: Os alunos estudam os conceitos teóricos e matemáticos por meio de vídeos e materiais de leitura antes da aula. Durante a aula, eles resolvem problemas práticos como o de deflexão de vigas e decaimento radioativo com a orientação do professor.
  • Aprendizagem Baseada em Problemas (PBL): Os alunos recebem um problema prático, como a modelagem de uma viga sob carga ou o estudo de decaimento radioativo, e devem utilizar EDOs para encontrar uma solução. O professor atua como facilitador, ajudando os alunos a desenvolver suas habilidades de resolução de problemas.
  • Simulações Computacionais: Softwares como MATLAB, Python (com bibliotecas como NumPy e SciPy) e Wolfram Mathematica podem ser usados para simular a solução das EDOs. Isso permite que os alunos visualizem as soluções e experimentem com diferentes condições iniciais e parâmetros.

Estas abordagens, quando combinadas, não só ajudam os alunos a compreenderem a teoria das EDOs, mas também os capacitam a aplicar esses conhecimentos em situações reais, como o projeto de vigas em engenharia ou o estudo de materiais radioativos em física.

9. Conclusão

A integração das EDOs com metodologias ativas representa uma oportunidade de inovar o ensino de cálculo, tornando-o mais relevante e engajador para os alunos. Através de exemplos práticos de engenharia e física, como a deflexão de vigas e o decaimento radioativo, os alunos podem aplicar as EDOs em contextos reais, desenvolvendo habilidades essenciais para sua formação. As metodologias ativas, como a sala de aula invertida, a aprendizagem baseada em problemas e as simulações computacionais, são ferramentas poderosas para promover uma aprendizagem mais profunda e duradoura.

[12pt]article amsmath, amssymb pgfplots tikz geometry caption lipsum margin=2.5cm Metodologias Ativas e Resolução da Equação da Onda

1. Introdução

Neste estudo, combinamos a resolução matemática da Equação da Onda com a aplicação de metodologias ativas de ensino. O objetivo é promover um ambiente de aprendizagem mais participativo, onde os alunos possam compreender conceitos abstratos por meio da simulação computacional e de práticas investigativas.

2. Equação da Onda: Formulação e Resolução

A equação da onda unidimensional é dada por:

com condições de contorno:

u(0,t) = 0, u(L,t) = 0

e condição inicial:

2.1 Separação de Variáveis

Assumimos uma solução do tipo u(x,t) = X(x)T(t), e obtemos as equações:

X′′(x) + λX(x) = 0, T ′′(t) + c2λT(t) = 0

X(0) = X(L) = 0

2.2 Solução Geral

Com

temos:

3. Simulação Gráfica

4. Metodologias Ativas no Ensino de EDPs

4.1 Sala de Aula Invertida

Antes da aula presencial, os alunos assistem a vídeos com a resolução da equação da onda, exploram a teoria por meio de simuladores online, e leem um resumo interativo em PDF com perguntas guias. A aula ´e dedicada a` resolução de problemas práticos em grupo, com foco em interpretação física das soluções.

Soluções da equação da onda para diferentes tempos

Figura 4: Solução da equação da onda para L = 10 e c = 1 com condição inicial f(x) =

4.2 Aprendizagem Baseada em Projetos (ABP)

Os estudantes desenvolvem projetos em duplas para simular o comportamento de uma corda em diferentes condições:

Alterando o valor de c (velocidade da onda)

Considerando outras funções iniciais, como uma forma triangular ou gaussiana

Estudando a propagação com fronteiras livres ou parcialmente fixas

4.3 Ensino por Investigação

Os alunos são desafiados a responder perguntas como:

Como o valor de c influencia a frequência da onda? E possível ter uma solução estacionária?´

O que acontece se f(x) for uma combinação de senos?

Eles testam hipóteses e verificam as respostas com simulações gráficas, promovendo aprendizado investigativo e reflexivo.

5. Considerações Finais

Ao combinar a modelagem matemática rigorosa com metodologias ativas, favorecemos a compreensão profunda de EDPs. O uso de gráficos, simulações e perguntas abertas aproxima a matemática da realidade e prepara os alunos para aplicações práticas e interdisciplinares.

1. Enunciado da Equação da Onda

Consideramos a equação da onda unidimensional:

com as seguintes condições de contorno e iniciais:

2. Método de Separação de Variáveis

Assumimos uma solução do tipo:

u(x,t) = X(x)T(t)

Substituindo na equação original:

X(x)T ′′(t) = c2X′′(x)T(t)

Dividindo ambos os lados por c2X(x)T(t), obtemos:

A igualdade a uma constante negativa −λ nos permite separar as variáveis.

3. Solução da Equação Espacial

A equação para X(x) se torna:

X′′(x) + λX(x) = 0, X(0) = X(L) = 0

As soluções são senoidais:

4. Solução da Equação Temporal

A equação para T(t) é:

T ′′(t) + c2λnT(t) = 0

Substituindo λn:

Solução geral:

5. Solução Geral da EDP

Somando os modos:

6. Aplicação das Condições Iniciais

Dada a condição inicial u(x,0) = f(x), temos:

Ou seja, os coeficientes An são obtidos por projeção de Fourier:

Da condição ∂u∂t (x,0) = 0, obtemos:

7. Exemplo:

Nesse caso, apenas o termo n = 1 é diferente de zero:

A1 = 1, An = 0 para n ≥ 2

Logo:

8. Interpretação Física

Essa solução representa a vibração de uma corda presa nas extremidades, onde a forma inicial é um arco de seno, e a oscilação ocorre com frequência fundamental. A amplitude varia no tempo com um fator cossenoidal. pgfplots

9. Simulações Gráficas com Diferentes Valores de c

Para observar o efeito da velocidade da onda c na solução da EDP, apresentamos abaixo três gráficos para diferentes valores de c, fixando L = 10 e observando a solução para diferentes instantes de tempo.

9.1 Simulação com c = 0.5

Figura 5: Evolução da solução com c = 0.5

9.2 Simulação com c = 1.0

Figura 6: Evolução da solução com c = 1.0

9.3 Simulação com c = 2.0

Figura 7: Evolução da solução com c = 2.0

Referências

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